Pi (szám)

Arkhimédész szobra Berlinben
Arkhimédész bebizonyította, hogy a kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi, mint területének és sugara négyzetének az aránya. Ezt nem hívta π-nek, de megadott egy módszert e számérték tetszőleges közelítésére, és adott rá egy olyan becslést, ami π értékét 3 + 10/71 (kb. 3,1408) és 3 + 1/7 (kb. 3,1429) közé teszi. A fölső határként megadott 22/7-et még a középkorban is általánosan használták π közelítő értékeként

Az egységnyi átmérőjű kör kerülete: $\pi$

A $\pi$ (pi) egy matematikában és fizikában használt valós szám. A leggyakrabban használt, euklideszi geometriában a kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják, ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.

A matematikai analízisben a körre való hivatkozás elkerülése érdekében szokás először a koszinuszt egy végtelen hatványsor összegeként definiálni, majd a $\pi$-t koszinusz legkisebb pozitív zérushelyének kétszereseként rögzíteni.

A görög $\pi$ betű a „περίμετρος” (perimetrosz, azaz kerület) szót rövidíti. Ezt a jelölést először William Jones használta 1707-ben, majd Leonhard Euler által 1737-ben lett igazán ismert. A $\pi$-t ritkábban Ludolph-féle számnak is nevezik, a német matematikus Ludolph van Ceulen tiszteletére, aki a $\pi$-nek minél több tizedesjegyét próbálta meghatározni.

A $\pi$ irracionális, sőt, azon belül transzcendens szám.

A $\pi$ számértéke

A mindennapi életben a $\pi$ értékére 3,14 használatos, de a tudományban sokkal nagyobb pontossággal használják ezt a számot.

A $\pi$ ötven tizedesjegyig:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 …

Mivel a $\pi$ irracionális szám, tizedestört alakja végtelen és nem ismétlődik periodikusan. Néhány tizedesjegynyi pontosság többnyire elegendő a mérnöki és tudományos munkákhoz, de modern számítástechnikai módszerekkel már 8 billiárd (8 × 10¹⁵) jegyét is kiszámították, mégsem fedeztek fel a számjegyek közt semmilyen mintázatot.

A $\pi$ számértéke Bécsben a Karlsplatzon

A matematikai analízisben

A $\pi$-t a körre való hivatkozás nélkül is lehet definiálni. A matematikai analízisben a koszinusz definíciója tetszőleges x komplex számra (ebben a valós számok is benne foglaltatnak):

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}$

Ezután azt a lehető legkisebb pozitív valós számot jelölik $\pi$-vel, amire teljesül, hogy

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$

Története

Egyiptom

Az ókori Egyiptomban a $\pi$ a kör területének kiszámításakor jelent meg mint probléma. Már az i. e. 2000 körüli időkből származó egyiptomi Rhind-papiruszon található egy képlet a kör területének kiszámítására. Természetesen az egyiptomiak nem állandóként használták a pit, a számításaikban nem fordul elő olyan elem, ami azt valószínűsítené, hogy a kör területének és kerületének piszerű összefüggéseit felismerték. Egy megoldóképletet alkalmaztak, amelynek mai megoldása eredményezi a 3,16 számértéket.

„Példa egy kerek csűrre, amelynek (átmérője) 9, (magassága) 10. Vond le a 9-ből a kilenced részét, vagyis 1-et, a maradék 8. Szorozd meg 8-cal, ez lesz 64. Szorozd meg 10-zel a 64-et, ez lesz 640. Add hozzá a felét, ez lesz 960. Ez lesz az űrtartalma harban.”

– Kákosy László fordítása

A kör területének megoldóképlete eszerint:

$T \approx \left( d - \frac{d}{9} \right)^2$

ahol d a kör átmérője (a feladatban ezt még meg kell szorozni a magassággal, aztán pedig 1,5-tel is, hogy a könyök hosszmérték és a har köbmérték közti váltás is megtörténjen, köbkönyökben 640 lett volna a végeredmény). Ebből a $\pi$ értékére a

$\pi\approx 4\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^2 = 3,160493827\quad160493827\quad160493827\quad\dots$

közelítés adódik, ami ebben az időben csodálatos pontosságnak számított, és a jól eltalált kilencedből ered. Mivel az egyiptomiak néhány kivétellel csak egységtörteket alkalmaztak (vagyis olyan törteket, amelyeknek számlálója 1), és az 1/8, illetve 1/10 már feltűnően rossz eredményt adna, ezt a matematikai eredmény egyszerű próbálkozással elérhették. 1/10-del 2,56, 1/8-dal 4,0 lett volna az eredmény.

Mezopotámia

Ugyanekkor Mezopotámiában a lényegesen durvább $\pi\approx3\frac{1}{8}=3,125$ és a $\pi\approx3$ közelítő értéket használták. Ez utóbbit a zsidók is átvették, a Bibliában is megjelenik (Kir. 7:23). Az ókorban szinte minden országban, minden matematikával foglalkozó tudós más és más közelítést alkalmazott.

Görögország

Arkhimédész módszere a $\pi$ meghatározására

Az ókori görögök felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik, amelynek alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara. Ezzel a $\pi$ nem csupán körterület, hanem a körkerület kiszámításával is kapcsolatba került. Arkhimédész a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a
$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{10}{70}$ közelítésig pontosította elődei eredményét (3,140845 ... 3,142857). Az Arkhimédész becsléséből származó
$\pi\approx\frac{22}{7}$ (3,142857) közelítésnél pontosabb eredményre jutott Klaudiosz Ptolemaiosz: $\pi\approx\frac{377}{120}$ (3,141667).

Kína

Kínában a földmérők a $\pi \approx 3$ értékkel számoltak: Az i. e. 2. században készült összefoglaló munkában (Matematika kilenc könyvben) szerepel az a becslés, miszerint a kör területe a köré írt négyzetének $\frac{3}{4}$-e, ebből pedig $\pi \approx 3$ adódik.

Ugyanakkor a gömb térfogatát a $V=\frac{9}{16}\cdot d^3$ képlettel számolták, ami a $\pi\approx\frac{27}{8}=3,375$ közelítésnek felel meg.

A Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Ci csillagász (időszámításunk kezdete körül) hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében először, hogy törvény szabta meg a $\pi\approx3,1547$ értékét. A II. és III. század fordulóján Csan Heng jutott arra a becslésre, hogy a kör kerületének és a köré írt négyzet kerületének aránya 5:8, ami a $\pi\approx\sqrt{10}=3,16227766\dots$ közelítéshez vezet. A III. század végén Vang Fan a $\pi\approx\frac{142}{45}=3,15555\dots$ közelítést használta, ugyanakkor Liu Huj a d=100 átmérőjű körrel számolva Arkhimédész módszerével, de nála pontosabban a $314\frac{64}{625}<100\pi<314\frac{169}{625}$ közelítést adta, melyet a 3072 oldalú szabályos sokszög oldalainak kiszámításával kapott.

Később Cu Csung-cse (430-501) csillagász adott pontosabb becslést, számításra a közelítő $\frac{355}{113}<\pi<\frac{22}{7}$ törteket használta. ($3,1415929<\pi< 3,1428571$). A $\frac{355}{113}$ már 6 tizedesjegyig pontos értéket ad.

India

Az 5–6. század fordulója körül alkotó Árjakhabata alkalmazta a helyes összefüggést a kör $T$ területe, $k$ kerülete és $d$ átmérője között:

$T=\frac{k}{2}\cdot\frac{d}{2}$

de a gömb térfogatának és a főkör területének kapcsolatára a hibás $V=T\cdot\sqrt{T}$ képletet adja meg, ami a $\pi\approx\frac{16}{9}=1,777\dots$ közelítést adja. Ugyanakkor a feladatok kidolgozásánál ő maga is az akkor általánosan használt 3,1416 értékkel számol, ami a hinduk által kapott 9 tizedesjegyre pontos $\pi\approx\frac{104348}{33215}=3,1415926539\dots$ becslés kerekítése. A numerikus közelítések mellett említést érdemelnek a $\pi$-vel kapcsolatos konvergens sorok, köztük a később Európában újra felfedezett sorok, mint például Leibniz alábbi $\pi/4$-hez konvergáló sora. Ennek közelítésre használt részösszege a $\frac{\pi}{4}\approx\frac{377}{480}$ a Ptolemaiosz-féle fentebbi becsléssel egyezik.

Iszlám országok

A perzsák 16 tizedesjegyig számították ki az értékét. Az arab matematikusok Arkhimédész módszerének alkalmazásával előbb 180 oldalú, majd 720 oldalú sokszöggel számoltak, de később kiderült, hogy számolási hibát ejtettek. Végül az 1424-ben befejezett munkájában (Értekezés a körről) Dzsamsid Gijászaddín al-Kási adott immáron helyes becslést a 2²⁸, azaz 268 435 456 oldalú sokszög kerületének kiszámításával. Eredményét babiloni hatvanados helyiértékes törtben 10 helyiérték pontossággal, azaz decimálisan 17 jegyig közölte (ez utóbbi versbe szedve a fenti ábrán látható):

$2\pi\approx6;16^{I}59^{II}28^{III}1^{IV}34^{V}51^{VI}46^{VII}14^{VIII}50^{IX}=6,2831853071795865$,

ami a $\pi\approx3,14159265358979325$ közelítést adja.

Európa

A középkori Európából a legkorábbi konkrét írásos emlék Novgorodból származik. Kirik diakónus 1134-es jegyzeteiben több számítás között szerepel az égitestek (Föld, Nap, Hold) térfogatának kiszámítása Eratoszthenész mérései alapján. E számításokhoz az ismeretlen forrásból származó $\pi\approx3,125$ közelítést használták.

Nyugaton a sokoldalú humanista, Nicolaus Cusanus 1445–59 között több művében foglalkozott a körkerület kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél. Módszere kissé eltért Arkhimédészétől: Arkhimédész fix kerületű körbe és köré írt 3, 6, 12, 24, …, 3·2ⁿ oldalú sokszögekkel számol, Cusanus 4, 8, 16… oldalú fix kerületű sokszögekbe és köréjük írt körökkel. Az $r$ sugarú körben $\alpha$ középponti szöghöz tartozó körív $i$ hosszára a következő képletet adta:

$\frac{i}{r}=\frac{3\sin\alpha}{2+\cos\alpha}$

Cusanus eredményeit a 16. század végén François Viète, W. Snellius, Christiaan Huygens, a 17.–18. században többen, köztük Isaac Newton javították.

1597-ben A. van Roomen ismételte meg az arab Al-Kási eredményét. Ezzel egyidőben Ludolph van Ceulen (1550–1617) német származású holland matematikus 1596-ban megjelent könyvében 60·2³³=515 396 075 520 oldalú befoglaló és körülíró sokszöget használt a $\pi$ értékének számításához. Ezzel a módszerrel húsz tizedesjegyig határozta meg a $\pi$ értékét, majd 1615-ben 32-jegyű közelítést publikált. Munkássága nyomán nevezik a $\pi$-t „Ludolph-féle számnak”.

A matematikai szakirodalom 18.–19. századi eredményei között igen sok foglalkozik ezzel az akkortájt divatos problémával. Ezek nagy része naiv műkedvelők hibáktól hemzsegő munkája. A Magyar Tudományos Akadémia a 19. század közepén úgy rendelkezett, hogy „kör négyszegesítését, a szög háromfelé metszését, az örök mozgony feltalálását előadó értekezések vizsgálatlanul visszautasíttatnak”.

Már a 18. századtól tudták, hogy a $\pi$ irracionális szám, jelölésére a kis görög pi betűt 1739-ben Leonhard Euler vezette be William Jones nyomán.

1873-ban William Shanks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedesjegyig számította ki, de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy Shanks az 528. tizedestől kezdve tévedett.

$\pi$-t tartalmazó képletek

A $\pi$ sok olyan geometriai képletben szerepel, amelyek körökkel és gömbökkel kapcsolatosak.

Geometriai alakzat	Képlet
A kör kerülete r sugárból, d átmérőből	$K = \pi d = 2 \pi r \,\!$
A kör területe r sugárból	$T = \pi r^2 \,\!$
Az ellipszis területe, a és b féltengelyekből	$T = \pi a b \,\!$
A gömb térfogata r sugárból, d átmérőből	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
A gömb felülete r sugárból	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
A henger térfogata h magasságból és r alapsugárból	$V = \pi r^2 h \,\!$
A henger felülete h magasságból és r alapsugárból	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
A kúp térfogata h magasságból és r alapsugárból	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
A kúp felülete h magasságból és r alapsugárból	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

Végtelen összeggel és szorzattal való közelítés

• Viète-féle sor:

${\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots}\,\!$

• Leibniz-féle sor:

${\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdot...}\,\!$

• Wallis-formula:

$\pi=\lim_{n \to \infty}\left[\frac{2\cdot4\cdot\cdot\cdot2n}{1\cdot3\cdot\cdot\cdot\left(2n-1\right)}\right]^2\cdot\frac{1}{n }$ avagy

${\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot...}\,\!$

• Machin-formula (1706):

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

• Euler-féle sor:

${\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...}\,\!$

${\frac{\pi^4}{90}=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+...}\,\!$

• William Brouncker lánctörtje:

${\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\cdots}}}}\,\!$

• Rámánudzsan-féle sorok:

${{\frac{4}{\pi}} = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n(1123+21460n)(2n-1)!!(4n-1)!!}{882^{2n+1}32^n n!^3}}\,\!$

${{{99^2}\over{\sqrt{8}\pi}} = \sum_{n=0}^\infty {{(4n)!(1103+26390n)}\over{(n!)^4 396^{4n}}}}\,\!$

$\pi = \left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right)^\frac{1}{4}$ (a közelítés 9 jegyre pontos)

• Csebisev-sorokból (1957)

${\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{8}.}\,\!$

${\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi}{12}.}\,\!$

• Egy szimmetrikus formula (1997):

${\pi = \frac {\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\displaystyle\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} {\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots}}\,\!$

• Bailey-Borwein-Plouffe formula (1997):

${\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right)}\,\!$

Matematikai tulajdonságai

Transzcendenciáját Lindemann bizonyította be. De attól még nem Liouville-szám, hogy transzcendens, ugyanis, mint Kurt Mahler 1953-ban igazolta,

${\left|\pi-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{42}}}\,\!$

minden olyan ${p/q}$ racionális számra, amiben ${q\geq 2}$.

Pi-versek

A $\pi$ versben

Ismeretesek olyan mnemotechnikai „versek”, amiknek szavai annyi betűt tartalmaznak, mint a $\pi$ soron következő számjegye.

A következő három vers harminc tizedesjegyig adja meg a $\pi$ értékét:

„	Nem a régi s durva közelítés, Mi szótól szóig így kijön Betűiket számlálva. Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen. De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem.	”
– Szász Pál, matematikus (1952)

„	Bír-e, érez-e ember nyugalmat, Ha lelkét nehéz bús emlék zaklatja. Szüntelen felhőbe burkolózó idő az, Ami változni ámha akarna se tudhat, Mert azt nem írhatja már le halandó kívánsága.	”
– Hajós György prof. közölte (1952)

„	Íme a szám: a görög periféria pi betűje. Euler meg Viète végtelen összeggel közelít értékéhez. Lám, őt már Egyiptom, Kína, Európa is akarta, hogy „ama kör kerülete úgy ki lehetne számlálva”.	”
– Szikora Ágnes (2009)

Egy angol változat 14 tizedesjegyig (figyeljük meg, hogy az első szó 3, a második 1, a harmadik 4, az ötödik 1... betűt tartalmaz):

„	How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.	”
– ismeretlen

Hivatkozások

• $\pi$ egymillió számjegyig
• $\pi$ négymillió számjegyig
• $\pi$ kétszázmillió számjegyig
• A $\pi$ meghatározása
• Miért fontos a pi ($\pi$) pontos értékét meghatározni?
• Pi-memory
• 3,14 – Tökéletes hamisítvány (Magyar Narancs, XX. évf. 11. szám, 2008. március 13.)
• $\pi$ a japánoktól
• Pi.lap.hu - linkgyűjtemény
• Minden idők legjobb magyar nyelvű pi-verse
• Pi-day március 14.
• Pi-blog magyar pi-blog
• További pi-versek magyarul (Elemi matematika IV., egy elemi matematikakurzus weblapja a Szegedi Tudományegyetemen)

Irodalom

• Arisztotelész: Metafizika (Hatágú síp alapítvány, 1992)
• Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
• Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
• Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
• Juskevics, A. P.: A középkori matematika története (Gondolat, 1982)
• Ribnyikov, K. A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
• Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
• Szőkefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)
• Waerden, B. L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6