Logaritmikus eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Tömegfüggvény
Kumulatív eloszlásfüggvény

A logaritmikus eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás, mely a MacLaurin-sor kiterjesztéséből vezethető le (a MacLaurin-sor a Taylor-sor egy speciális esete):


 -\ln(1-p)  = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.

Ebből kapjuk:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

A Log(p)-eloszlású valószínűségi változó tömegfüggvénye:

 f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

k≥1 értékekre, és ahol 0<p<1. A fentiek miatt az eloszlás normalizált. A kumulatív eloszlásfüggvény:

 F(k) = 1 + \frac{\Beta(p; k+1,0)}{\ln(1-p)}

ahol B az inkomplett bétafüggvény. Poissonnal kevert Log(p)-eloszlású változónak negatív binomiális eloszlása van. Más szavakkal, ha N egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, és Xi, i = 1, 2, 3, ...egy végtelen sora az egymástól független, azonos valószínűségi változóknak, melyeknek Log(p)-eloszlása van, akkor

\sum_{i=1}^N X_i- negatív binomiális eloszlású.

Ily módon a negatív binomiális eloszlás, egy összetett Poisson-eloszlás.

Ronald Aylmer Fisher egy publikációjában a negatív binomiális eloszlást a fajok relatív bőségének a modelljeként írja le. [1]

Jellemző paraméterek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tartomány=k \in \{1,2,3,\dots\}\!|
  • Sűrűségfüggvény=\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!|
  • Kumulatív eloszlásfüggvény=1 + \frac{\Beta(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}\!|
  • Középérték=\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!|
  • Módusz=1
  • Szórásnégyzet=-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!|
  • Momentum generáló függvény=\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\text{ for }t<-\ln p\,|
  • Karakterisztikus függvény=\frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\text{ for }t\in\mathbb{R}\!|
  • Generátorfüggvény=\frac{\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}\text{ for }|z|<\frac1p|

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel: Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions. (hely nélkül): John Wiley & Sons. 2005. ISBN 9780471272465  

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]