Lineáris törtfüggvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Lineáris törtfüggvénynek nevezik a komplex függvénytanban az alakú függvényeket, ahol , és a,b,c,d komplex számok. Az elemi matematikában (annak valós függvénytan c. részében) az a,b,c,d együtthatók valós számok.

A komplex számsíkon értelmezett lineáris törtfüggvények regulárisak és kölcsönösen egyértelműek. A kétszer kettes komplex mátrixok csoportjával izomorf háromszorosan tranzitív csoportot alkotnak a kompozícióra.

Csoport[szerkesztés]

A csoportművelet a kompozíció. Az egységelem az identitás. A lineáris törtfüggvény inverze a lineáris törtfüggvény. A csoportot generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az függvény:

Projektív szemlélet[szerkesztés]

A lineáris törtfüggvények a komplex projektív egyenes kettősviszonytartó transzformációinak tekinthetők. Így bizonyíthatók a következő tulajdonságok:

  • A csoport háromszorosan tranzitív
  • Csak az identitás hagy helyben három pontot
  • Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes

Legyen egy pontpár egyenesre szimmetrikus, ha tükörképek, és körre szimmetrikus, ha egymás inverz képe.

  • Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus

További tulajdonságok[szerkesztés]

  • Körbelsőt vagy félsíkot körbelsőre, körkülsőre, vagy félsíkra képeznek
    • Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.
  • Körlap vagy félsík körlapra való reguláris és kölcsönösen egyértelmű leképezése lineáris törtfüggvény

Bizonyítások[szerkesztés]

Háromszoros tranzitivitás[szerkesztés]

Tétel: A lineáris függvények csoportja háromszorosan tranzitív.

Definíció: Négy komplex szám, kettősviszonya a hányados.

Bizonyítás: Jelölje a kettősviszonyt. Legyen továbbá . Ekkor lineáris transzformáció.

Hasonlóan, legyen a kettősviszony. Legyen továbbá . Ekkor is lineáris transzformáció.

Tekintsük az transzformációt. Ez lineáris függvény, és az adott pontokat az adott pontokba viszi.

Kör vagy egyenes képe[szerkesztés]

Tétel: Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes.

Bizonyítás: A lineáris törtfüggvények csoportját generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az függvény. Ezek a függvények kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át, ugyanis az eltolások, forgatások és nyújtások hasonlósági transzformációk, az függvény meg az invertálás konjugáltja, ezek pedig szintén kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe[szerkesztés]

Tétel: Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus.

Bizonyítás: Jelöljön és egy szimmetrikus pontpárt. Tekintsük a szimmetria alapkörét vagy tengelyét. A pontot tartalmazó egyenesek és körök, amelyek merőlegesen metszik az alapkört vagy a tengelyt, még egy közös ponttal bírnak: -gyel. A lineáris függvény szögtartó a kölcsönös egyértelműség és a regularitás miatt, ezért a pontpár képére ugyanezek az illeszkedési tulajdonságok teljesülnek. Így szimmetrikus pontpár képe szimmetrikus pontpár.

Irányítás és a körbelső képe[szerkesztés]

Tétel: Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.

Bizonyítás: Legyen pozitív irányítású körvonal. Vegyünk belsejében egy tetszőleges pontot. Jelölje a lineáris törtfüggvényt, és tegyük fel, hogy a körvonal képe körvonal.

Ha belseje belsejébe képződik le, akkor egy, a körvonal belsejében levő pontra, és -nek nincs pólusa a kör belsejében. Az argumentumelv szerint körülfordulási száma a tetszőleges -re 1.

Ha belseje külsejébe képződik le, akkor minden, a körvonal belsejében fekvő pontra, és a lineáris törtfüggvénynek van egy pólusa. Az argumentumelv szerint körülfordulási száma a tetszőleges -re -1.

Körök és félsíkok kölcsönösen egyértelmű reguláris leképezései[szerkesztés]

Tétel: Körlap vagy félsík csak lineáris törtfüggvénnyel képezhető le körlapra vagy félsíkra kölcsönösen egyértelmű és reguláris módon.

Bizonyítás: Legyen tetszőleges pont a körlapon vagy a félsíkon. Mindkét kört vagy félsíkot képezzük az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel úgy, hogy és képe 0-ba menjen. Feltehető tehát, hogy az egységkört önmagára képezi le, és a nulla képe nulla.

A Schwarz-lemmával:

és

és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha

Források[szerkesztés]

Halász Gábor: Komplex függvénytan