Legendre-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Asszociált Legendre-függvény

A Legendre-függvény, Pλ, Qλ, és az asszociált Legendre-függvények Pμλ, Qμλ, a Legendre-polinomok általánosításai.[1]

A Legendre-függvényt az elméleti fizikában alkalmazzák, különösen a kvantummechanika és az elektrodinamika területén.

Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapta a nevét.

Differenciálegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az asszociált Legendre-függvények a Legendre-függvény megoldásai:

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right]\,y = 0,\,

ahol λ és μ komplex számok, az asszociált Legendre-függvények jellemzői (fokozat, rend/faj). A Legendre-polinomok a μ=0 fajú asszociált Legendre-függvények. Ez egy másodrendű lineáris egyenlet, három reguláris szinguláris ponttal (1, -1, és ∞).

Mint minden hasonló egyenlet, átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté, a változók cseréjével, és megoldásai a hipergeometrikus függvények felhasználásával adhatók meg.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezeket a függvényeket általános komplex paraméterekkel és argumentummal lehet definiálni:

P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{1+z}{1-z}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 (-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2}),\qquad \text{for } \  |1-z|<2

ahol \Gamma a gamma-függvény és  _2F_1 a hipergeometrikus függvény.

A másodrendű differenciálegyenletnek van egy második megoldása, Q_\lambda^{\mu}(z), :

Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2}}{z^{\lambda+\mu+1}} \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \  |z|>1.

Integrálos ábrázolás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Legendre-függvény felirható kontúr integrálokként is. Például:


P_\lambda(z) =\frac{1}{2\pi i}
 \int_{1,z} \frac{(t^2-1)^\lambda}{2^\lambda(t-z)^{\lambda+1}}dt

Ahol a kontúr körök az 1, és z pontok körül pozitív irányban, és nem a -1 körül értelmezendők. Valós x –re, kapjuk:


P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},\qquad s\in\mathbb{C}

Legendre-függvény, a harmonikus analízisben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

P_s valós integrálos ábrázolása, igen hasznos a L^1(G//K) harmonikus analízisében, ahol G//K, a SL(2,\mathbb{R}) dupla coset-tere (lásd zónás gömb-függvény).

L^1(G//K) Fourier-transzformáltja:

L^1(G//K)\ni f\mapsto \hat{f}

ahol

\hat{f}(s)=\int_1^\infty f(x)P_s(x)dx,\qquad -1\leq\Re(s)\leq 0


Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Dunster, T. M. (: "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2010 109–113. o. ISBN 9780521192255  
  • Snow, Chester. (: Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory. (hely nélkül): National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office. 1952 109–113. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]