Lépcsős függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.

Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.

Példa a lépcsős függvényre (vörös vonal), itt a lépcsős függvény jobbra folytonos

Definíciók, következtetések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)\, az összes x valós számra

ahol n\ge 0, \alpha_i valós számok, A_i intervallumok, és \chi_A\, az A indikátorfüggvénye:

\chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & \mbox{ha } x \in A, \\
0 & \mbox{ha } x \notin A. \\
\end{cases}

Ebben a definícióban az A_i intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:

  1. Az i-edik és j-edik intervallumnak nincs közös része: A_i\cap A_j=\emptyset, ha i\ne j
  2. Az intervallumok uniója a valós számok halmaza, \cup_{i=0}^n A_i=\mathbb R.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egységugrás-függvény
  • A konstans függvény egy triviális példája a lépcsős függvénynek. Itt csak egy intervallum van:

A_0=\mathbb R.

  • Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x) egy fontos lépcsős függvény .
  • A négyszögfüggvény a következő egyszerű lépcsős függvény. A négyszögfüggvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egységimpulzusként.
Négyszögfüggvény

Ellenpéldák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsős függvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.[1]

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsős függvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény.
  • A lépcsős függvények értékei csak véges számok lehetnek. Ha az A_i, i=0, 1, \dots, n intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és \alpha_i valós számok, akkor f(x)=\alpha_i minden x\in A_i-re igaz.
  • Egy \textstyle f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\, lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, \textstyle \int \!f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i),\,, ahol \ell(A) az A intervallum hossza, és feltételezzük, hogy A_i véges hosszúságú.

Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.[2]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Step function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Reiman István: Matematika. Budapest: Typotex. 2011. ISBN 9789632793009  
  • F. C. KINGMAN, S. J. TAYLOR: Introduction to Measure and Probability. (hely nélkül): Cambridge. 1966.  
  • S. LANG: Real and Functional Analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1993.  
  • W. RUDIN: Real and Complex Analysis. (hely nélkül): Collier Macmillan. 1968.  

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Példa: Bachman, Narici, Beckenstein. Example 7.2.2, Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8 
  2. Weir, Alan J. 3, Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7