Lépcsős függvények

Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós-valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.

Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.

Példa a lépcsőfüggvényre (vörös vonal), itt a lépcsőfüggvény jobbra folytonos

Definíciók, következtetések

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:

$f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)\,$ az összes $x$ valós számra

ahol $n\ge 0,$ $\alpha_i$ valós számok, $A_i$ intervallumok, és $\chi_A\,$ az $A$ indikátor függvénye:

$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ha } x \in A, \\ 0 & \mbox{ha } x \notin A. \\ \end{cases}$

Ebben a definícióban a $A_i$ intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:

1. i, j intervallumoknak nincs közös részük $A_i\cap A_j=\emptyset$ for $i\ne j$
2. Az intervallumok uniója a valós számok halmaza, $\cup_{i=0}^n A_i=\mathbb R.$

Példák

Egységugrás-függvény

• A konstans függvény egy triviális példája a lépcsőfüggvénynek. Itt csak egy intervallum van:

$A_0=\mathbb R.$

• Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x),egy fontos lépcsős függvény .
• A négyszög-függvény a következő egyszerű lépcsőfüggvény. A négyszög függvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egység impulzusként.

Négyszögfüggvény

Nem-példák

Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsőfüggvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.

Tulajdonságok

• Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsőfüggvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény.
• A lépcsős függvények értékei csak véges számok. Ha $A_i,$ $i=0, 1, \dots, n,$ intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és valós számok, akkor $f(x)=\alpha_i\,$ minden $x\in A_i.$ -re igaz.

• Egy $\textstyle f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\,$ lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, $\textstyle \int \!f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i),\,$,

ahol $\ell(A)$ az $A$ intervallum hossza, és feltételezzük, hogy $A_i$ véges hosszúságú. Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.

Irodalom

• Reiman István: Matematika. Typotex. 2011. ISBN 9632793009
• F. C. KINGMAN, S. J. TAYLOR: Introduction to Measure and Probability. Cambridge. 1966.
• S. LANG: Real and Functional Analysis. Springer-Verlag. 1993.
• W. RUDIN: Real and Complex Analysis. Collier Macmillan. 1968.