Kritikus fordulatszám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy forgórész kritikus fordulatszáma az a fordulatszám, melynél a rugalmas forgórész lengései rezonanciában vannak, vagyis a periodikus gerjesztések frekvenciája megegyezik a forgórész sajátlengésének frekvenciájával (= a sajátfrekvenciával). A kritikus fordulatszámon a forgórész nyugtalanul viselkedik, a gép rezgéseinek amplitúdója megnövekszik. Tervezésnél gondoskodni kell arról, hogy a kritikus fordulatszámon a gép tartósan ne üzemelhessen. A kritikus fordulatszámot a tengely hajlítólengései vagy csavarólengései okozhatják. Egy forgórésznek több kritikus fordulatszáma van, de ezek közül általában a legalacsonyabbnak van jelentősége. A nagy gőzturbinák forgórészeinek üzemi fordulatszáma a kritikus fordulatszámnál esetenként nagyobb szokott lenni.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első iparilag használható gőzturbinát Gustaf de Laval svéd mérnök és feltaláló készítette. Az ő gépe vékony, hosszú, rugalmas tengelyre szerelt, viszonylag nagy tömegű tárcsából állt, melyre a turbinalapátokat szerelték. Már korábban is észlelték azt a jelenséget, hogy ha egy forgórész fordulatszáma nő, a rezgései egy bizonyos tartományban szokatlanul erősek lesznek, azonban de Laval volt az első, aki rájött arra, hogy ha ezen a fordulatszámon túlhaladnak, a gép rezgései ismét csökkennek. Gondolatmenete az alábbi volt: A gyártási pontatlanságok és a felhasznált anyagok inhomogenitása miatt a forgórész tömegközéppontja és a forgástengely soha nem esik pontosan

A forgórész kitérése a szögsebesség függvényében

egybe. Álljon a forgórész modellje az ábra szerint egy elhanyagolható tömegű hajlékony tengelyből és koncentrált m tömegű tárcsából. Legyen a tárcsa excentricitása (vagyis a forgórész tömegközéppontja és a forgástengely közötti távolság) e, a tárcsánál egy, a tengelyre merőleges F erő és az általa okozott y kitérés között álljon fenn az F=k.y összefüggés. Forgás közben a tengelyt a centrifugális erő y értékkel meghajlítja, a tárcsa tömegközéppontjának sugara ekkor y+e értékű lesz, felírható tehát a rugalmas és centrifugális erők egyensúlya \omega szögsebességnél:

\frac{}{} m (e + y) \omega^2= k y

Innen y-t kifejezve kapjuk:

y = \frac {m \omega^2 e} {k-m \omega^2} = \frac e {1 - \frac k {m \omega^2 e}}

A függvény grafikonja a mellékelt ábrán látható. A tengely kitérése a szögsebesség növelésével nő, ahol a nevező 0-vá válik, elvileg értéket ér el, az ehhez tartozó szögsebesség:

\omega_k = \sqrt{\frac k m}

a kritikus szögsebesség,

n_k = \frac {30 \omega} \pi

pedig a percenkénti kritikus fordulatszám. De Laval észrevette, hogy ha a szögsebességet a veszélyes kritikus érték fölé növeli, akkor a tengely kitérése fokozatosan csökken, a gép járása nyugodt lesz. Nem veszélyezteti a gépet, ha a kritikus szögsebesség tartományában a forgórész gyorsan áthalad. Ezt a felismerést a Laval-turbinákban hasznosította is.

Lengéstani modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyakorlati tapasztalatok azt mutatták, hogy a kritikus fordulatszámon át lehet lépni anélkül, hogy különösebb nyugtalanságot éreznének a gépek üzemében. Ezért a mérnökök pontosabb számítási modelleket kerestek. Lengéstani megfontolásokból születtek a valóságot jobban megközelítő eljárások. Az előző fejezetben bemutatott rugalmas, tömeggel és egyensúlyhibával rendelkező forgórészeket egyszabadságfokú lengőrendszerként vizsgálhatjuk. A rendszer sajátfrekvenciáját a gerjesztés és csillapítás nélküli, szabadlengések differenciálegyenletéből kapjuk.

m \ddot{x} + k x = 0.

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldásából meghatározható a rendszer csillapítás nélküli kritikus szögsebessége:


\omega_k = \sqrt{k \over m} \!,

Ez az eredmény pontosan megegyezik az előzőekben levezetett kritikus szögsebessggel. A centrifugális erő harmonikus gerjesztést jelent a tengely számára, mely rezgéseket fog végezni. Ha a csillapítást is figyelembe vesszük, a mozgás differenciálegyenlete:

m \ddot{x} + { c } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos { \omega t}

ahol

x a tengely kitérése,
m a forgórész tömege,
c a lineáris csillapítási tényező
k a tengely rúgómerevsége
F_0 pedig a gerjesztőerő amplitúdója.

A fenti differenciálegyenlet állandósult megoldását az ábra mutatja, látható, hogy elméletileg végtelen nagy kitérés a kritikus fordulatszámnál csak a csillapítás nélküli esetben várható, csillapítás azonban mindig létezik.

Forced Vibration Response.jpg

Az ábrák tulajdonképpen arra az esetre vonatkoznak, amikor a gerjesztőerő amplitudója a frekvenciától függetlenül állandó, mivel rugalmas forgórésznél a centrifugális erő nemcsak a kezdeti excentricitástól, hanem a tengely rugalmas kitérésétől is, a csillapítás hatásáról azonban jó képet ad.

Pontosabb modellek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nagy gőzturbinák, gázturbinák, szivattyúk, kompresszorok, villamos forgógépek forgórészeit az egyszabadságfokú modell nem írja le megfelelően, ezért a korszerű forgórészmodellek lehetővé teszik a több tömegű, több (esetleg rugalmas) csapággyal rendelkező, tárcsákkal rendelkező forgórészek kritikus szögsebességének számítását is. A modellek figyelembe veszik a nagy átmérőjű tárcsák giroszkópos nyomatékát és a labirint tömszelencék dinamikai hatását is.

Az elméleti számítások és az üzemi tapasztalatok is azt mutatják, hogy a forgórészeknek több kritikus szögsebessége (rezonancia-frekvenciája) van. Ezekből általában az első a veszélyes, mert az ehhez tartozó fordulatszám és az üzemi fordulatszám van egymás közelében. Nagy forgórészeknél a csavarólengések szintén rezonanciát okozhatnak.

A mozgásegyenletek csillapítatlan szabadlengések esetére generalizált mátrix alakban:


\begin{matrix}
M\ddot{q}(t)+ K {q}(t)&=&0\\
\end{matrix}

ahol:

M a szimmetrikus tömegmátrix,

K a szimmetrikus merevségi mátrix,

q a forgórész generalizált koordinátáiból képzett oszlopvektor.

Az egyenlet megoldásaként annyi sajátfrekvenciát kapunk, ahány szabadságfokú rendszerként modelleztük a forgórészt.

Egyes forgórészeknél figyelembe kell venni a tárcsák giroszkópikus hatását, a csillapítást, valamint egyes egyéb fizikai hatások (labitint-tömszelencék, elektromágneses erők) aszimmetrikus befolyását a mozgásegyenletekre. Ebben az esetben a fenti egyenlet az alábbi módon bővül


\begin{matrix}
M\ddot{q}(t)+(C+G)\dot{q}(t)+(K+H){q}(t)&=&f(t)\\
\end{matrix}

ahol:

C a szimmetrikus csillapításmátrix

G a ferdeszimmetrikus giroszkopikus mátrix

H a ferdeszimmetrikus keringési mátrix

f a gerjesztő függvény.

Mind a G giroszkopikus mátrix, mind a H keringési mátrix az Ω szögsebességgel arányos.

A fenti egyenlet megoldása komplex sajátvektorokat is tartalmaz, melyek az Ω szögsebesség függvényei.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Chen, W. J., Gunter, E. J.. Introduction to Dynamics of Rotor-Bearing Systems. Victoria, BC: Trafford (2005). ISBN 1-4120-5190-8  uses DyRoBeS
  • Childs, D.. Turbomachinery Rotordynamics Phenomena, Modeling, & Analysis. Wiley (1993). ISBN 0-471-53840-X 
  • Fredric F. Ehrich (Editor). Handbook of Rotordynamics. McGraw-Hill (1992). ISBN 978-0-07-019330-7 
  • Genta, G.. Dynamics of Rotating Systems. Springer (2005). ISBN 978-0-387-20936-4 
  • Jeffcott, H. H. (1919.). „The Lateral Vibration Loaded Shafts in the Neighborhood of a Whirling Speed. - The Effect of Want of Balance”. Philosophical Magazine 37.  
  • Krämer, E.. Dynamics of Rotors and Foundations. Springer-Verlag (1993). ISBN 0-387-55725-3 
  • Lalanne, M., Ferraris, G.. Rotordynamics Prediction in Engineering, Second Edition. Wiley (1998). ISBN 978-0-471-97288-4 
  • Muszyńska, Agnieszka. Rotordynamics. CRC Press (2005). ISBN 978-0-8247-2399-6 
  • Nelson, F. (2003. June). „A Brief History of Early Rotor Dynamics”. Sound and Vibration.  
  • Nelson, F. (2007. July). „Rotordynamics without Equations”. International Journal of COMADEM 10. ISSN 1363-7681.  
  • Nelson, F.. An Introduction to Rotordynamics (2011) 
  • Lalanne, M., Ferraris, G.. Rotordynamics Prediction in Engineering, Second Edition. Wiley (1998). ISBN 978-0-471-97288-4 
  • Vance, John M.. Rotordynamics of Turbomachinery. Wiley (1988). ISBN 0-471-80258-1 
  • Yamamoto, T., Ishida, Y.. Linear and Nonlinear Rotordynamics. Wiley (2001). ISBN 978-0-471-18175-0