Komplexusműveletek

A matematikában olyan halmazok ill. függvények közti műveletet nevezünk komplexusműveletnek, amely eredménye az operandushalmazok elemein végzett műveletek eredményeinek halmaza, illetve függvényeknél pontonkénti műveletvégzés eredménye. A kifejezés az algebrából ered, ahol algebrai struktúrák részhalmazait komplexusnak nevezték.

Generált komplexusművelet

Legyen $\oplus \,{\mathfrak {S}}\,$ halmazon értelmezett, $n\,$-operandusú művelet, és ${\mathfrak {O}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {O}}_{n}$ részhalmaza ${\mathfrak {S}}\,$-nek. Ekkor, ha szokás szerint a $\oplus \,$ művelet által generált komplexusműveletet szintén $\oplus \,$ jelöli,

$\oplus \left({\mathfrak {O}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {O}}_{n}\right)=\{\oplus \left(o_{1},\ldots ,o_{n}\right):o_{1}\in {\mathfrak {O}}_{1},\ldots ,o_{n}\in {\mathfrak {O}}_{n}\}$

Példák

Komplexusösszeg

Legyen $(G,\,+)$ csoport, és $E,\,F\,\,G$ részhalmazai. Ekkor $E+F=\{u+v:u\in E,\,v\in F\}$; a komplexusösszeg asszociativitása nyilvánvaló, és ha $G\,$ Abel-csoport, kommutativitása triviálisan adódik. A lineáris algebra alapvető állítása, miszerint alterek komplexusösszege az általuk generált altér. Diszjunkt alterek komplexusösszegét direkt összegnek nevezzük, és általában $\oplus$ jellel jelöljük.

Minkowski-kombináció

Ha $X\,$ valós affin tér, és $E,\,F\subseteq X$, valamint $\alpha +\beta =1\,$, akkor $E\,$ és $F\,$ $\alpha \,$ és $\beta \,$ együtthatókkal vett Minkowski-kombinációja a

$\alpha E+\beta F=\{\alpha P+\beta Q:P\in E,\,Q\in F\}$

halmaz. Ha $X\,$ vektortér, akkor az $\alpha +\beta =1\,$ feltétel elhagyható, ilyenkor $\alpha =\beta =1\,$ esetben Minkowski-összegről beszélünk. Könnyen látható, hogy konvex halmazok Minkowski-kombinációja is konvex.

Komplexusszorzat

Legyen $(R,\,+,\,\cdot \,)\,$ gyűrű. Ekkor $P,\,Q\subseteq R$ halmazok komplexusszorzatát hagyományosan nem mint a szorzás által generált komplexusműveletet definiáljuk, hanem a így:

$P\cdot Q=\{\sum \limits _{i=1}^{k}{a_{i}b_{i}}:a_{i}\in P,\,b_{i}\in Q,\,k\in \mathbb {N} \}$,

hogy amennyiben $I,\,J\,$ ideálok $R\,$-ben, komplexusszorzatuk a voltaképpeni komplexusszorzatuk által generált ideál legyen.

Pontonként vett összeg, szorzat és hatvány

Ha $f,\,g\,$ függvények, akkor

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,$

$(fg)(x)=f(x)g(x)\,$

valamint, ha $f\,$ teljes értelmezési tartományán van értelme $q\,$-val hatványozni:

$(f^{q})(x)=f(x)^{q}\,$.