Klein-féle palack

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A Klein-féle palack

A Klein-féle palack egy kétdimenziós, egyoldalú (vagyis nem irányítható) felület, önmagába forduló rugalmas kúpként kell elképzelni. A palacknak a belseje egyben a külseje is, tehát ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk festeni az egészet. Nevét Felix Klein német matematikusról kapta.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Érdekességek

A Klein-féle kancsó két tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával létrehozva, melyeken kettősfríz mintázat látható.
  • A Klein-kancsó előállítható két, tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával.
  • A Klein-kancsó felületére kettős-fríz mintázatok helyezhetők, melyek érdekesen transzformálódnak a két Möbius-szalaggá való szétválasztáskor.
  • A Klein-kancsó önátmetszés nélkül nem ágyazható be a három dimenziós térbe. Ehhez legalább négy dimenzió kell.
  • A Klein-kancsó két dimenziós, zárt sokaság, ami azt jelenti, hogy kompakt felület, és nincs határa.
  • Differenciálható sokaság, azaz leírható differenciálható függvényekkel.
  • Ha egy gömbön kivágunk két lyukat, és a lyukak határát egy-egy Möbius-szalag határával azonosítjuk, akkor Klein-palackot kapunk.
  • A Klein-kancsóra rajzolt bármely térkép kiszínezhető legfeljebb hat szín felhasználásával. Ez az egyetlen kivétel a Heawood-sejtés alól, ami a négyszíntétel általánosításaként összefüggést állít a felhasználandó színek száma és az adott felület nemszáma között. A sejtés szerint a színek számának hétnek kell lennie.

[szerkesztés] Képletek

A Klein-palack a következőképpen írható le képletekkel:


r=4 \Bigl(1-\frac{\cos(u)}{2}\Bigr)

ahol 0 \le v < 2\pi és 0 \le u < \pi esetén:

x = acos(u)(1 + sin(u)) + rcos(u)cos(v)
y = bsin(u) + rsin(u)cos(v)
z = rsin(v)

és 0 \le v < 2\pi -re meg \pi < u \le 2 \pi -re:

x = acos(u)(1 + sin(u)) + rcos(v + π)
y = bsin(u)
z = rsin(v)

Az a és a b konstansok a palack méretét és arányait határozzák meg.

[szerkesztés] Topológia

A Klein-palack a következőképpen konstruálható: Veszünk egy négyzetet, és azonosítjuk az éleket úgy, ahogy az ábra mutatja: az azonos színűeket azonosítjuk a nyilaknak megfelelő irányok szerint. Formálisan, a Klein-palack megkapható az [0,1] × [0,1] négyzetből a (0,y) ~ (1,y), 0 ≤ y ≤ 1 és az (x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤ x ≤ 1 relációk szerinti ragasztással. Ezt úgy is mondjuk, hogy a négyzet a Klein-palack fundamentális poligonja.

A Klein-palack topológiai értelemben nem metszi át magát, mégsem ágyazható be a három dimenziós térbe önátmetszés nélkül. Ekkor a következőképpen képzelhető el: egy hosszú téglalap hosszabb oldalait összeragasztjuk úgy, ahogy a piros nyilak mutatják. Ezután a cső egyik végét átdugjuk a cső falán, és belülről ragasztjuk a cső másik végéhez. Az így készült Klein-palackon lehet egy törés ott, ahol a két véget összeragasztottuk, azonban valójában sehol sincs törés. Ez a Klein-palack immerziója a három dimenziós térbe. A három dimenziós immerzió lehetővé teszi, hogy láttassuk a Klein-palack tulajdonságait: nincs határa, ahol hirtelen véget érne, egy oldalú és nem irányítható.

Klein Bottle Folding 1.svg
Klein Bottle Folding 2.svg
Klein Bottle Folding 3.svg
Klein Bottle Folding 4.svg
Klein Bottle Folding 5.svg
Klein Bottle Folding 6.svg

Hasonló módon készítenek Klein-palackokat üvegből.

Négy dimenzióban az önátmetszés kiküszöbölhető úgy, hogy a három dimenziós immerzióban kapott képben kihúzzuk az önátmetszés környékét a negyedik dimenzió irányába. Koordinátákkal ez úgy valósítható meg, hogy a három dimenziós Klein-palackot a nulla negyedik koordinátájú altérbe képezzük le, és az önátmetszés környékén folytonosan megnöveljük a negyedik koordinátát úgy, hogy ott legyen a legnagyobb, ahol az önátmetszés lenne.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Források

  • Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Topológia: Rácsátrendeződések a Möbius-szalag -- Tórusz transzformáció során. Természet Világa, 1990/10. 464-466. (HU ISSN 0040 3717)
  • Bérczi Sz. (1993): Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double-Threads and Cellular Tubes with Möbius-Band, Torus, Tube-Knot and Klein-Bottle Topologies. Symmetry: Culture and Science, 4. No. 1. p. 49-68. (ISSN 0865 4824)
  • Szaniszló Bérczi (1997): Symmetrieanderungen durch zellulare Automaten in Transformationen geschlossener Doppelfaden und zellularer Röhren mit Möbiusband-, Torus-, Röhrenknoten- und Klein-Flaschen-Topologie. (In: Jenseits von Kunst, P. Weibel, ed.), p.216-220. Passagen Verlag, Wien (A Művészeten Túl magyar katalógus ISBN száma: ISBN 963 03 8859 6)
  • Két dimenziós sokaságok konstrukciója
  • A Klein-palack
  • Videó a Klein-palack konstrukciójáról [1].
  • Klein-palack a MathWorldnél
  • Alling-Greenleaf a Klein-palackról
  • Matematika képekben - A Klein-palack
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Klein-f%C3%A9le_palack”