Kihajlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.

Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.

Euler képlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kihajló rúd

Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:

\frac {d^2y}{dx^2} =-\frac{M}{IE} ,

ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az Ft törőerő és az y kitérés szorzata:

M=F_ty \,.

Végül, ha bevezetjük az

\alpha^2 =\frac{F_t}{IE}

jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:

y^{\prime\prime} + \alpha^2y = 0 .

Ennek az egyenletnek az általános megoldása:

y = A \sin (\alpha x) + B \cos (\alpha x) \frac{}{} ,

ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,

y(0) = 0 \frac{}{} és y(l) = 0 \frac{}{} , így
B = 0 \frac{}{} és
 A \sin (\alpha l) = 0 \frac{}{} .

Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha  \alpha l = \pi \frac{}{} . Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:

 F_t =  \left ( \frac{\pi}{l} \right )^2IE .

Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:

 F_t =  \left ( \frac{\pi}{l_{r}} \right )^2IE ,
l_{r}=\mu{l}\,

ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.

Wsp-wyb.JPG

A gyakorlatban a törést okozó σt nyomófeszültséget szokás számolni:

\sigma_t = \frac{F_t}{T} ,

ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:

I = i^2 T \,,

és bevezetve a

\lambda = \frac{l_{r}}{i} ,

karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:

 \sigma_t =  \left ( \frac{\pi}{\lambda} \right )^2E ,

Tetmajer képlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Törőfeszültség a karcsúság függvényében

A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σF folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σt diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:


\sigma_t = 
\begin{cases} 
  \left ( \frac{\pi}{\lambda} \right )^2E , & \mbox{ha } \sigma \le \sigma_p \\
  a - b\lambda  & \mbox{ha } \sigma_p \le \sigma \le \sigma_F  \\
  \sigma_F & \mbox{ha } \sigma \ge \sigma_F
\end{cases}
,
Törőfeszültség számítása
Anyag Szakítószilárdság
MPa
III. szakasz λ<λF II. szakasz λF <λ< λe I. szakasz
λ>λe
σt MPa
σt = σF
MPa
λf σt = a - bλ
MPa
λe
Szénacél 370 240 60 308-1,14λ 105 \frac {1441^2}{\lambda^2}
480 310 60 467-1,62λ 100 \frac {1432^2}{\lambda^2}
520 360 60 589-3,82λ 100 \frac {1432^2}{\lambda^2}
Ötvözött acél 650 420 22 470-2,30λ 86 \frac {1419^2}{\lambda^2}
Dúralumínium 420 - 0 380-2,20λ 50 \frac {820^2}{\lambda^2}
Öntöttvas - - 5 776-12λ+0,053λ² 80 \frac {997^2}{\lambda^2}
Fenyőfa - - 0 30-0,2λ 100 \frac {316^2}{\lambda^2}
Tölgyfa - - 0 37,5-0,25λ 100 \frac {354^2}{\lambda^2}

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]