Khí-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében, és a statisztika területén a khí-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.[1]

A khí-eloszlás standard normális eloszlású, független, véletlenszerű változók négyzetei összegének a négyzetgyöke.

A legismertebb példa a khí-eloszlásra, a normalizált molekuláris sebességek Maxwell eloszlása, 3 szabadságfokkal (egy szabadságfok , minden térbeli koordinátára). [2]

Ha X_i k független, normális eloszlású véletlenszerű változók, \mu_i középértékkel, és \sigma_i szórással, akkor a statisztika

Y = \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}

khí-eloszlású lesz. A khí-eloszlásnak a k paramétere a szabadságfokok számát határozza meg (azaz a X_i számát).

Jellemzők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Khí valószínűségsűrűség-függvény
Kumulatív eloszlásfüggvény

Valószínűségsűrűség-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valószínűségsűrűség-függvény:

f(x;k) = \frac{2^{1-\frac{k}{2}}x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})}

ahol \Gamma(z) a gamma-függvény.

Kumulatív eloszlásfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kumulatív eloszlásfüggvény:

F(x;k)=P(k/2,x^2/2)\,

ahol P(k,x) a szabályozott gamma-függvény.

Függvénygenerálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Momentum-generáló függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A momentum-generáló függvény:

M(t)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2}\right)+
t\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}
M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}\right)

Karakterisztikus függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A karakterisztikus függvény:

\varphi(t;k)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2}\right)+
it\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}
M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}\right)

ahol M(a,b,z) Kummer hipergeometrikus függvénye.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Momentumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nyers momentumok:

\mu_j=2^{j/2}\frac{\Gamma((k+j)/2)}{\Gamma(k/2)}

ahol \Gamma(z) a Gamma-függvény. Az első nyers momentumok:

\mu_1=\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!1)/2)}{\Gamma(k/2)}
\mu_2=k\,
\mu_3=2\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!3)/2)}{\Gamma(k/2)}=(k+1)\mu_1
\mu_4=(k)(k+2)\,
\mu_5=4\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!5)/2)}{\Gamma(k/2)}=(k+1)(k+3)\mu_1
\mu_6=(k)(k+2)(k+4)\,

ahol a jobboldali kifejezések származtatása a gamma-függvényből erednek:

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\,

Ezekből a kifejezésekből a következő összefüggéseket származtathatjuk:

Középérték:

\mu=\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}

Szórásnégyzet:

\sigma^2=k-\mu^2\,

Torzulás:

\gamma_1=\frac{\mu}{\sigma^3}\,(1-2\sigma^2)

Többlet lapultság: \gamma_2=\frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)

Entrópia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az entrópia:

S=\ln(\Gamma(k/2))+\frac{1}{2}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi_0(k/2))

ahol \psi_0(z) a poligamma-függvény.

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Különböző khí and khí-négyzet eloszlások
Név Statisztika
Khí-négyzet_eloszlás \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2
nem centrális khí-négyzet eloszlás \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2
khí-eloszlás \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}
nem centrális khí-eloszlás \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]