Katenoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Katenoid

A katenoid egy felület a 3-dimenziós Euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben.[1] Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik.[2] Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid.[3]

A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:

x=c \cosh \frac{v}{c} \cos u
y=c \cosh \frac{v}{c} \sin u
z=v
ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.

Hengerkoordináta-rendszerben:

\rho =c \cosh \frac{z}{c}
ahol c egy valós állandó.

A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.[4]

Csavarfelület transzformációjaként[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy animáció ami egy csavarfelület transzformációját mutatja be katenoiddá.

Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:

x(u,v) = \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u
y(u,v) = -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u
z(u,v) = u \cos \theta + v \sin \theta \,
bármely (u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)-re, a deformációs paraméter -\pi < \theta \le \pi,

ahol \theta = \pi egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, \theta = \pm \pi / 2 a kateonidnak felel meg, \theta = 0 pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Catenoid című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
  2. Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
  3. Catenoid at MathWorld
  4. Videón megnézhető itt.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]