Kamatozás

A három eltérő kamatszámítási mód
Érdekes megfigyelni a nominális kamat és az effektív hozam metszéspontját egy évnél.

A kamat a pénz időértékének megtestesülése. Ha egy pénzösszeget a bankba elhelyezünk, akkor a bank pénz használatáért a betétünkre bizonyos kamatot ad. Hasonlóan, ha a bank pénzét használjuk, akkor ezért a felvett hitelért bizonyos ellenszolgáltatást kell nyújtanunk. Mivel a betétek és a hitelek kamatszámítási módja eltérő, ezért érdemes megismerni a három elterjedt változatát.

Nominális kamatozás

A nominális kamatozás (névleges vagy egyszerű kamatozás) során a kiinduló összeg (az alaptőke) bizonyos százalékban kifejezett hányadát szabályos időközönként (kamatperiódus) hozzáadják a tőkéhez. Ezt a százalékot kamatlábnak nevezzük.
A banki kirdetésekből ismert EBKM (egységesített betéti kamatláb mutató) is a nominális kamatozás módszerével számítódik. Ennek a bankok részéről praktikus oka, hogy az éves nominális kamatból számított egy évnél rövidebb távra szóló kamat magasabb, mint éven belül az effektív hozam, így az ügyfeleknek többnek tűnhet.

Számítási módja:

$V_1 = V_0 \cdot(1 + t \cdot k)$

$V_0\;$ : alaptőke

$V_1\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$k\;$ : kamatláb

Nominális kamatozás esetén a kamatozási periódus végén kapott összegek számtani sorozatot alkotnak.

Példa

Egy újsághirdetésben azt látjuk, hogy 11%-os éves kamatot ad az egyik bank fél éves lekötésre. Le szeretnénk kötni 1000 Ft-ot, mennyit kapunk fél év múlva?

$V_0=1000; \quad k=11%=0,11; \quad t=\frac{1}{2}$

$V_1 = V_0 \cdot(1 + t \cdot k)=1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot 0,11 \right)=1055$

Effektív hozam

Az effektív hozam (vagy kamatos kamat) alkalmazásánál a kamatperiódus végén a kamatot nem fizetik ki, hanem hozzáadják a tőkéhez és ez a következő időszakban többletkamatot eredményez, így a kapott kamat is kamatozik. A kamatjóváírás a gyakorlatban történhet többévente, évente, vagy havonta, és bár a banki gyakorlatban ritka, de elképzelhető rövidebb, tetszőleges tőkésítési periódus (nap, perc stb.) is. A közgazdaságtanban és a pénzügyekben az effektív hozam elterjedt, kamat címén szinte kivétel nélkül ezt számolják.
A THM-et (teljes hiteldíj mutató) is jellemzően effektív hozam módszerrel számolják ki.

Számítási módja:

$V_1 = V_0\cdot(1+r)^t$

$V_0\;$ : alaptőke

$V_1\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$r\;$ : effektív hozam

Kamatos kamatozás esetén a periódusidők végén kapott összegek mértani sorozatot alkotnak.

Példa

Hasonlítsuk össze, hogy mi történne, ha effektív hozammal számítanánk ki a fél év után esedékes pénzünket!

$V_0=1000; \quad r=11%=0,11; \quad t=\frac{1}{2}$

$V_1 = V_0 \cdot(1 + r)^t=1000 \cdot (1 + 0,11)^\frac{1}{2}=1000 \cdot \sqrt{1,11} \cong 1053,565$

Ez valamennyivel kevesebb, mint amit nominális kamatozással kaptunk volna.

Logaritmikus hozam

A logaritmikus hozam (gyakran rövidebben loghozam) másik neve folyamatos kamatozás, ugyanis a kamatfizetés technikailag minden időpillanatban történik. Számítási módjának megértéséhez először vezessük be az $r$ hozamú, éven belül $m$ alkalommal történő kamatos kamatozás képletét:

$V_1 = V_0 \cdot\left(1 + \frac{r}{m} \right) ^m$

Ha $m$ tart a végtelenhez (azaz a bank minden pillanatban jóváírja a kamatot), akkor határértéke $e^r$, ahol $e$ az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapszáma (értéke közelítőleg: $e \cong 2,718$):

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = e^r$

Így a folytonos kamatozás képlete:

$V_1 = V_0 \cdot e^{t\cdot y}$

$V_0\;$ : alaptőke

$V_1\;$ : tőke a futamidő végén

$t\;$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve

$y\;$ : loghozam

Bár a mindennapi életben nem találkozhatunk vele, de a bankoknál rendszeresen alkalmazzák, mivel a számítások több esetben jelentősen egyszerűsödnek vele.

Példa

Megmutatjuk, hogy miért egyszerű loghozamokkal számolni! Legyen most is az indulótőkénk 1000 Ft, amit le szeretnénk kötni 3 évre. Olyan szerencsések vagyunk, hogy tudjuk előre három évre az éves loghozamokat, amelyek rendre 5%, 6% és 7%.

$V_0=1000; \quad y_1=5%=0,05; \quad y_2=6%=0,06; \quad y_3=7%=0,07;$

$V_1 = V_0 \cdot e^{y_1}=1000 \cdot e^{0,05} \cong 1051,27$

$V_2 = V_1 \cdot e^{y_2}=1051,27 \cdot e^{0,06} \cong 1116,28$

$V_3 = V_2 \cdot e^{y_3}=1116,28 \cdot e^{0,07} \cong 1197,22$

Kicsit egyszerűbben, a hatványozási azonosságot kihasználva:

$V_3 = V_2 \cdot e^{y_3} = V_1 \cdot e^{y_2} \cdot e^{y_3} = V_0 \cdot e^{y_1} \cdot e^{y_2} \cdot e^{y_3} = V_0 \cdot e^{y_1+y_2+y_3}$

$V_3 = V_0 \cdot e^{y_1+y_2+y_3}=1000 \cdot e^{0,05+0,06+0,07}=1000 \cdot e^{0,18} \cong 1197,22$

Lásd még

• Kamat
• Jelenérték
• Hozamgörbe

Ajánlott irodalom

• Bodie, Z. - Kane, A. - Marcus, A. J. (2005), Befektetések, Aula Kiadó, ISBN 963-95-8542-4
• Brealy, R. A. - Myers, S. C. (2005), Modern vállalati pénzügyek, Panem Kiadó, ISBN 963-54-5422-8