Kőnig-egyenlőtlenség

A Kőnig-egyenlőtlenség a halmazelmélet egyik tétele, amely Kőnig Gyula matematikustól származik. A tétel szerint ha a kiválasztási axióma igaz, $I$ tetszőleges indexhalmaz, $m_{i}$ és $n_{i}$ számosságok minden $i\in I$ értékre, amire $m_{i}<n_{i}\!$ teljesül minden $i\in I$ esetén, akkor

$\sum _{i\in I}m_{i}<\prod _{i\in I}n_{i}.$

ahol a bal oldalon az $m_{i}$ számosságok összege, a jobb oldalon az $n_{i}$ számosságok szorzata áll.

E tétel következménye, hogy $\kappa ^{{\mathrm {c} f}(\kappa )}>\kappa$ teljesül minden végtelen ${\displaystyle }$ számosságra. Innen ${\mathrm {c} f}(\lambda ^{\kappa })>\kappa$ adódik minden $\kappa \geq \aleph _{0}$, $\lambda \geq 2$ számosságra, speciálisan ${\mathrm {c} f}(2^{\kappa })>\kappa$.

Bizonyítása

Legyen $\langle X_{i}\mid i\in I\rangle$, $\langle Y_{i}\mid i\in I\rangle$ két, páronként diszjunkt halmazok sorozata, amire $\vert X_{i}\vert =\kappa _{i}<\lambda _{i}=\vert Y_{i}\vert$. Elég belátni, hogy van egy injektív, de nem bijektív $\Phi :\bigcup _{i\in I}X_{i}\to \{f:I\to \cup _{i\in I}Y_{i}\mid \forall i\in If(i)\in Y_{i}\}$

Legyen $\alpha _{i}$ elem $Y_{i}\setminus X_{i}$-ből $i\in I$-re. Legyen továbbá $x\in \bigcup _{i\in I}X_{i}$. Ekkor egyértelműen van egy $j\in I$, hogy $x\in X_{j}$. Legyen $f:=\Phi (x)$ az a függvény, amire $f(i)={\begin{cases}x,&i=j\\\alpha _{i},&i\neq j\end{cases}}$. Ekkor $\Phi$ injektív.

Adva legyen most egy $\Phi$, és definiáljuk $f(i)$-t minden $i\in I$-re $Y_{i}\setminus \{\Phi (x)(i)\vert x\in X_{i}\}$ elemeként. Ekkor $f$ az $i$ helyen különbözik $\Phi$ $X_{i}$-beli képétől. Mivel ez minden $i\in I$-re teljesül, $\Phi$ nem szürjektív, és így nem bijektív.

Források

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kőnig Gyula: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von König (Mengenlehre) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.