Különbség (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A sötétlila terület az A mínusz B

A különbség a halmazelmélet egy kétváltozós művelete, ami két halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az első halmaz elemei közül csak azokat tartalmazza, melyeket a második nem.

[szerkesztés] Definíció és jelölés

Ha $A$ és $B$ halmazok, akkor az $A$ és $B$ különbségének nevezzük és $A \setminus B$ (szóban: „á minusz bé”) módon jelöljük az $A$ halmaz azon elemeinek összességét, melyek nem elemei $B$ -nek. Ezt szimbolikusan így írjuk: $A\setminus B= \{x\,|\, x \in A \wedge x\notin B\}.$

[szerkesztés] Példák

{1,2,3} \ {2,3,4} = {1}
{2,3,4} \ {1,2,3} = {4}
Ha a valós számok $\mathbb R$ halmazából kivonjuk a racionális számok $\mathbb Q$ halmazát, akkor eredményül megkapjuk az irracionális számok $\mathbb{Q}^*$ halmazát, vagyis $\mathbb R \setminus \mathbb Q = \mathbb{Q}^*$ .

[szerkesztés] Tulajdonságok

Ha az $U$ univerzumban (másként az alaphalmazban) $A$ , $B$ és $C$ halmazok, akkor igazak a következők:

Ha az $A$ halmaz rendelkezik olyan elemmel, amely nem eleme $B$ -nek, vagy $B$ rendelkezik olyan elemmel, amely nem eleme $A$ -nak, akkor a különbségképzés nem kommutatív: $A \setminus B \ne B \setminus A$ .
Ha $A \subseteq B\,\!$ , akkor $A \setminus B = \varnothing$ . Emiatt

$A \setminus A = \varnothing$
$\varnothing \setminus A = \varnothing$
$A \setminus U = \varnothing\,\!$

$A \setminus \varnothing = A$
$U \setminus A = A^C\,\!$
$A \setminus B = B^C \cap A\,\!= (A^C \cup B)^C$ és $(A \setminus B)^C = B \cup A^C\,\! = A^C \cup B$