Közrefogási elv

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A közrefogási elv (gyakoribb nevén „rendőrelv[1]) egy matematikai analízissel kapcsolatos fogalom.

A tétel fontos szerepet tölt be az analízisben, illetve az analízissel foglalkozó bizonyításokban. Általában arra használják, hogy egy függvény határértékét meghatározzák vagy bizonyítsák más függvényekkel való összehasonlítással (amelyek határértéke könnyebben kiszámítható, mint az eredeti függvényé). A legelső félhasználása Arkhimédészhez és Eudoxoshoz kapcsolódik, akik a pi értékének meghatározásához használták a tételt. Modern formájába Gauss öntötte.

A tétel megfogalmazható sorozatok határértékére vonatkozóan és általánosabban függvények tetszőleges pontjában vett határértékére vonatkozóan.

Tétel sorozatok határértékére[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy az (a_n), (b_n) és (c_n) valós sorozatokra teljesülnek a következők:

  • létezik olyan N \in \mathbb{N}, hogy a_n \le b_n \le c_n minden n \ge N indexre
  • az (a_n) és a (c_n) sorozatoknak van határértéke és lim(a_n) = lim(c_n) =: A \in \bar\mathbb{R}.

Ekkor a (b_n) sorozatnak is van határértéke és lim(b_n)=A.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(c_n - a_n) nullsorozat.

0 \le b_n - a_n \le c_n - a_n majdnem minden n \in \mathbb{N}-re.

Mivel (c_n - a_n) nullsorozat, (b_n - a_n) is nullsorozat, (b_n) = (b_n - a_n) + (a_n) konvergens sorozatok, így

lim(b_n) = lim(b_n - a_n) + lim(a_n) = lim(a_n)

Tétel függvények határértékére[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen I egy intervallum, legyen a az I egy torlódási pontja (vagyis belső pont, vagy az intervallum "szélső", nem feltétlenül az intervallum elemét alkotó pont). Legyenek az f, g és h az I intervallumon definiált függvények, esetleg kivéve az a pontot. Az előbbi függvényekre álljon fenn, hogy I bármely a-tól különböző x pontjában:

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \,

Ekkor, ha adott hogy:

\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. \,

akkor \lim_{x \to a} f(x) = L.

  • A függvények g és h úgynevezett felső és alsó korlátját adják f-nek.
  • A pontnak a-nak nem muszáj az I intervallum belső pontjának lennie, lehet akár az intervallum végpontja is, de ekkor a határérték a megfelelő féloldali határértékre változik.
  • Hasonló állítást tehetünk végtelen intervallumokra is pl.: ha I = ]0; ∞[, ekkor a tétel továbbra is igaz amint x → ∞.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti tételt a limit inferior és szuperior segítségével bizonyítjuk. Ezek tulajdonságait és a kiindulási feltételeket felhasználva igaz, hogy:

L=\lim_{x \to a} g(x)\leq \liminf_{x\to a}f(x)\leq\limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L,

Ez azonban a valós számok rendezési tulajdonságaiból következően(trichotómia) csak egyenlőség esetén igaz.

Egy másik bizonyítás amely a határérték (ε, δ) definícióját használja fel, megmutatja, hogy bármely valós ε > 0 -hoz létezik egy valós δ > 0 úgy, hogy minden x-re, amelyre teljesül, hogy 0 < |xa | < δ, teljesül, hogy −ε < f(x) − L < ε. Jelekkel:

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x - a | < \delta \ \Rightarrow \ - \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon)..

Vagyis ha

\lim_{x \to a} g(x) = L

azt jelenti, hogy:

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta_1 > 0 : \forall x\ (0 < |x - a| < \delta_1 \ \Rightarrow \ - \varepsilon < g(x) - L < \varepsilon).\qquad (1)

és

\lim_{x \to a} h(x) = L

azt jelenti, hogy:

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta_2 > 0 : \forall x\ (0 < |x - a | < \delta_2\ \Rightarrow \ - \varepsilon < h(x) - L < \varepsilon),\qquad (2)

és adott, hogy:

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \,
g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\,

akkor választhatunk úgy egy \delta-t hogy \delta<\delta_1 és \delta<\delta_2; pld.:, legyen \delta:=\frac{1}{2}\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\}. Ekkor ha adott, hogy |x - a|<\delta, akkor (1)-ből és (2)-ből következik, hogy:

 - \varepsilon < g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\ < \varepsilon,
 - \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon ,

ami bizonyítja a tételt. \blacksquare

Példák az alkalmazásra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Első példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x2 sin(1/x) közrefogása, és "beszorítása" a 0 pont környezetében.

A

\lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})

határérték nem határozható meg szorzat határértékére vonatkozó tétel segítségével, vagyis a

\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) =
\lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),

szabállyal, mert a

\lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x})

határérték nem létezik.

Viszont a szinuszfüggvény értékkészletéből,

-1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. \,

következik, hogy:

-x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 \,

Mivel \lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0, így a közrefogási elv alapján, \lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) szintén 0.

Második példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valószínűleg a legismertebb példa a következő:


\begin{align}
& \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1, \\[10pt]
& \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0.
\end{align}

Az első állítás a tételt és a következő azonosságot alkalmazva kapható meg:

 \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

kellően kicsiny x-ekre, de x nem lehet 0.

A fenti két határérték a trigonometrikus függvények deriváltjának meghatározásakor is felhasználható.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Squeeze theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az elnevezés tréfás magyarázata, hogy ha két rendőrsorozat közrefog egy gyanúsított sorozatot, akkor utóbbi is oda tart, ahová az első kettő.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]