Jacobi–Anger-azonosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Jacobi–Anger-azonosság (más néven Jacobi–Anger-kiterjesztés) a trigonometrikus függvények exponenciálisainak kiterjesztése a harmonikusaikra alapozva.

Ez a kiterjesztés hasznos lehet a fizikában (például síkhullámok és hengerhullámok konvertálásakor) és a jelfeldolgozás területén (FM-jelek leírása).

Az azonosságot két 19. századi matematikus, Carl Jacobi és Carl Theodor Anger után nevezték el.

Az azonosság legáltalánosabb alakja: [1][2]

e^{i z \cos \theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n\, J_n(z)\, e^{i n \theta}

és

e^{iz \sin \theta} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\theta},

ahol J_n(z) az n. Bessel-függvény. Felhasználva a J_{-n}(z) = (-1)^n\, J_{n}(z) összefüggést, n egész számra érvényes módon, kapjuk:[1][2]

e^{i z \cos \theta}=J_0(z)\, +\, 2\, \sum_{n=1}^{\infty}\, i^n\, J_n(z)\, \cos\, (n \theta).

A következő valós értékű változatok is hasznosak lehetnek:[3]


\begin{align}
  \cos(z \cos \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \cos \theta) &= -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],
  \\
  \cos(z \sin \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \sin \theta) &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].
\end{align}

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Colton, David; Kress, Rainer: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, "Chapter 9". (hely nélkül): New York: Dover. 1998 355. o. ISBN 9780486612720  
  • Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William: Handbook of continued fractions for special functions. (hely nélkül): Springer. 2008 ISBN 9781402069482  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b Colton & Kress (1998) p. 32.
  2. ^ a b Cuyt et al. (2008) p. 344.
  3. Abramowitz & Stegun (1965) p. 361, 9.1.42–45