Jólfundált (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy halmazt nem-jólfundáltnak nevezünk, ha (első) tagja egy olyan sorozatnak, melyben minden rákövetkező tag az előző eleme, azaz indul belőle egy végtelen, „befelé” futó „∈-sor”. Ellenkező esetben jólfundált.

Egy relációt jólfundáltnak nevezünk X osztályon akkor és csak akkor, ha X-nek minden nem-üres részhalmazának van minimális eleme R-re nézvést; azaz X minden S (nem-üres) részhalmazának van olyan m eleme, hogy minden sS elemre: (s,m) pár nem eleme R-nek.

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem-jólfundált halmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

a0 nem-jólfundált ≡ ∃a1 ∃a2 ∃a3 … ∃an (a1a0 , a2a1anan-1). Ha nem indul belőle ilyen végtelen "∈-sorozat”,azaz nem létezik fenn leírt a1 elem, akkor a0 jólfundált.

Jólfundált reláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\forall S \subseteq X (S \neq \varnothing \to \exists m \in S\, \forall s \in S\, ( s, m) \notin R)

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • jólfundált halmaz: 8 osztóit tartalmazó halmaz
  • nem-jólfundált halmaz: a= {a} ( ={{…{a}}…})
  • jólfundált reláció: "nagyobb, mint" <
  • nem-jólfundált reláció: reflexív; "nagyobb-egyenlő, mint"

Jólfundáltsággal kapcsolatos paradoxon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pontosan a jólfundált halmazokat tartalmazó halmazzal kapcsolatban merül fel a Mirimanoff-paradoxon. Jólfundált-e ez a halmaz? Azt kell higgyük, igen, hiszen minden eleme jólfundált, azaz per definitionem nem indul ki belőle egyetlen végtelen ∈-sorozat sem. Ha viszont jólfundált, akkor eleme kell hogy legyen magának, hiszen kiindulásként lefektettük, hogy az összes jólfundált halmazt tartalmazza. Azonban ha egy halmaz eleme magának, akkor garantált, hogy nem-jólfundált (ld. „Példák”)

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Well-foundedness című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.