Időegyenlet

Az időegyenlet vagy időkiegyenlítés a középidő és a valódi idő különbsége. A pontos érték ismerete fontos a geodéziai és navigációs helymeghatározásban a földrajzi hosszúság kiszámításakor.

A szó jelentése

Az antik csillagászok szóhasználatában a latin equatio (egyenlet) illetve a görög analemma javítást, kiigazítást, korrekciót jelentett, azt az értéket, amelyet a valamilyen módon kiszámított vagy mért mennyiséghez hozzá kell adni, hogy a helyes értéket megkapjuk.

Története

Geminus (i. sz. 50 körül) említi, majd egy évszázad múlva Ptolemaiosz (i. sz. 150 körül) híres művében, az Almagesztben az okát is megmagyarázva közli a korának megfelelő pontosságú értékeket. Igazi jelentőségét a Kepler-probléma megoldásával és a csillagászati, majd a hajózási műszerek pontosságának kifejlesztésével nyerte el. Ekkor vált lehetségessé a világidő mérése és ezzel a pontos földrajzi helymeghatározás.

Az okok

Az ábra mutatja, hogyan adja ki a két fő komponens az időkiegyenlítést (piros vonal).

Az idő kiegyenlítésére azért van szükség, mert a Nap helyzete alapján mért helyi idő (napóra, szextáns) nem egyezik az időmérés alapját képező, egyenletesen telő középidővel (karóra, falióra, kvarcóra, atomóra stb.). Az eltérésnek két fő oka, hogy

1. a földpálya ellipszis és a keringési sebesség nem egyenletes,
2. a földpálya (ekliptika) és az egyenlítő síkja nem esik egybe.

Kisebb anomáliát (eltérést) okoz a tavaszpont és a perihélium vándorlása, valamint a Föld forgási tengelyének és forgási sebességének időszakos változása. Ezeket vagy a két fő komponens számításánál veszik figyelembe, vagy hatásuk elhanyagolható. A számításokhoz szükséges változó adatokat csillagászati és navigációs intézetek évkönyveikben (Annales) vagy honlapjukon közlik.

Az elliptikus eltérés

A Nap ekliptikai hosszúsága ($\lambda$) a valódi ($\omega$) anomália alapján számítható. A Kepler-probléma (közelítő) megoldása alapján:

$\lambda(t)=\omega(t)+\psi = \psi + 2\pi t + 2e\cdot\sin(2\pi t) + 1,25e^2\cdot\sin(4\pi t)+\dots [mod{(2\pi)}]$

ahol $\psi$ a perihélium ekliptikai hosszúsága és e = 0,0167 a Földpálya excentrumossága. A t időt a perihéliumátmenet időpontjától számítjuk, ami változik. Megfelelő átszámítással a korrekció fokokban, napokban, órákban illetve ezek törtrészében számítható.

Az ekliptikai eltérés

Az idő egyenletes méréséhez kitalált fiktív egyenlítői középnap az égi egyenlítőn mozog egyenletesen és nem az ekliptikán, mint a valódi Nap. A két sík hajlásszöge (az ekliptika hajlása) $\varepsilon = 23,4^\circ$. Ezért az ekliptikán mért hosszúságnak az égi egyenlítőre eső vetületével, azaz a Nap egyenlítői koordinátájával, az $\alpha$ rektaszcenzióval kell számolni. A vetületi rövidülés a hosszúságtól is függ, a korrekciós faktor az $\epsilon$ hajlásból:

$\tau = \tan^2(\frac{\varepsilon}{2})$ , amivel a vetület:

$\alpha(t)=\alpha = \lambda - \tau\sin(2\lambda) + 0,5\tau^2\sin(4\lambda)\!\,$,

Az idő szinkronizálása

A két lépésben történő számításhoz az időt a Föld perihéliumátmenetétől kell számítani. Erre január 3-án kerül sor, de az átmenet időpontja változik. Egyrészt a bolygók perturbációja miatt a pálya nagytengelye lassan elfordul, másrészt az év nem pontosan 365 napos hossza miatt egy napon belül ingadozik.

Az égi koordináták kezdőpontja a tavaszpont. A naptári év hosszát a Nap két tavaszpont-átmenete határozza meg (tropikus év). Az átmenet naptári időpontja, a tavaszi napéjegyenlőség az előbbi okok miatt változik március 19-21 között. Ezen felül a tavaszpont helye a Föld tengelyének perturbációja miatt az egyenlítőn vándorol.

Az éven belüli időmérésünk kezdete január 1-jén világidőben (UTC) a $00^h 00^m 00^s$ időpont. Mivel az időegyenletnek nincs egzakt megoldása, a közelítő formulákat az alkalmazás pontossági igényéhez igazítva úgy adják meg, hogy abban a t változó helyett az év napjainak sorszáma (d) szerepel: január 1.=1, január 2.=2, …, február 1.=32, …., december 31.=365. A csillagászok inkább a Julián dátumot (JD) használják, melynek kezdete i. e. 4713. január 1. 12:00:00.

Az időegyenlet

A gyakorlatban (geodézia, navigáció stb.) a mérés a Nap (vagy közvetve más égitest) óraszögének ($\alpha$) műszeres meghatározásával történik (valódi idő). Az adott hely földrajzi hosszúsága pedig a fiktív középnap óraszögével ($\alpha_0$) egyezik (helyi középidő). Ezért az időegyenletet e két óraszög különbségeként adják meg, melyet a műszerrel meghatározott időhöz hozzáadva megkapjuk a középidőt:

$E=\alpha - \alpha_0\!\,$,

Más megközelítésben az időegyenlet definíciója

$\alpha - \mu + \psi\!\,$,

ahol $\alpha\!\,$ a valódi Nap rektaszcenziója, $\mu\!\,$ a közepes anomália, és $\psi\!\,$ a perihélium ekliptikai hosszúsága. A megfelelő gömbháromszögekből a rektaszcenzió:

$cos(\alpha) = cos(\omega - \psi) / cos(\delta)\!\,$,

ahol $\omega\!\,$ a valódi anomália és $\delta\!\,$ a Nap deklinációja:

$sin(\delta) = sin(\mu - \psi) sin(\varepsilon)\!\,$,

ahol $\varepsilon\!\,$ az ekliptika és az egyenlítő szöge (inklináció).

Közelítő formulák

E = középidő - helyi idő:

$E=0,171\sin(0,0337t + 0,465) + 0,1299\sin(0,01787t - 0,168)\!\,$,

$E=595^s \sin(198^\circ + 1,9713^\circ t)+ 441^s \sin (175^\circ + 0,9856^\circ t)\!\,$,

Jól használható a következő algoritmus:

Legyen d = naptári nap sorszáma, azaz

Január 1. ⇒ d=1

Január 2. ⇒ d=2

$\vdots$

Legyen B értéke

fokokban: $B = 360^\circ(d - 81)/364\!\,$

illetve

radiánban: $B = 2\pi(d - 81)/364\!\,$

Ekkor

$E = 9,87\sin(2B) - 7,53\cos(B) - 1,5\sin(B)\!\,$,

ahol $E\!\,$ percekben értendő.

Ezzel az approximációval készült a fenti kép.

Külső hivatkozások

• NASA Fotó
• Időegyenlet matematikai leírással
• Analemmára specializált lap sok illusztrációval
• Az időegyenlet grafikonja - Állandóan frissítve
• Táblázat Az időegyenletet és a Nap deklinációjat adja meg minden napra
• Időegyenlet A Royal Greenwich Observatory honlapja
• Az időegyenlet és az analemma görbe Kieron Taylor szerint.
• Brian Tung cikke benne egy link egy C programra: időegyenlet, analemma, Nap deklinácó számítása.
• Időegyenlet Ptolemáiosz efemeridáit alkalmazó számítása
• Solar tempometer - A helyi középidő helyi időre konvertálása.
• Illusztrációk animáció is.

Irodalom

• Kulin György et al., A távcső világa, Gondolat, Budapest,1980.
• Budó Ágoston, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.