Hohmann-pálya

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hohmann-pálya szemléltetése:
1 - a kisebb sugarú körpálya
2 - a Hohmann-pálya
3 - a nagyobb sugarú körpálya

A Hohmann-pálya (vagy Hohmann transzfer pálya) energia-felhasználás szempontjából két, azonos síkban lévő, kör alakú keringési pálya közötti leghatékonyabb (időtartam szempontjából azonban a leghosszabb) átmeneti pálya az égi mechanikában.

A művelet során mindössze kétszer kell az űrhajó meghajtását igénybe venni: először a kisebb sugarú körpálya elhagyásakor, amikor az űrhajó a körpályáról elliptikus pályára tér át, majd az ellipszis nagyobbik sugaránál, ahol az ellipszis a nagyobb körpályát érinti, és az űrhajó az elliptikus pályáról a nagyobbik kör alakú pályára tér át.

Az ellipszis alakú átmeneti pálya egyik érintője a kisebb, a másik érintője a nagyobb sugarú pályánál van.

Műhold pályamódosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ugyanez a technika alkalmazható egyetlen objektum körüli keringés során is, amikor a keringő objektum alacsonyabb pályáról magasabb pályára tér át (vagy fordítva).

A nagyobb sugarú körpályáról a kisebb sugarú körpályára való átmenet során hasonlóképpen kétszeri fékezésre van szükség.

Elmélet és gyakorlat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pályamódosító műveleteket elméletileg nulla idő alatt, impulzusszerűen kellene végrehajtani, a gyakorlatban nagy tolóerejű hajtóművekre van szükség. Kisebb tolóerejű hajtóművel csak úgy kapunk Hohmann-pályát, ha a hajtóművet pontosan kiszámított időpontokban, többször használjuk. Ilyenkor a kezdeti körpálya fokozatosan „öblösödik” és végül olyan ellipszissé alakul, ami megfelel a normál Hohmann-pálya ellipszisének. Ebben az esetben azonban az átmenethez szükséges idő a többszörösére növekszik.

Számítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy nagyobb test körül keringő kisebb test teljes energiája (amilyen például egy műhold a Föld körül) a mozgási energia és a potenciális energia összege. Ez az energia egyenlő az ellipszis fél nagytengelyénél lévő potenciális energia felével.

Ha a a fél nagytengely,

E=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m v^2 - \frac{GM m}{r} = \frac{-G M m}{2 a} \,

Megoldva az egyenletet a v sebességre, a következőt kapjuk:

 v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)
ahol:
  •  v \,\! a keringő test sebessége
  • \mu = GM\,\! annak a testnek a standard gravitációs állandója, ami körül a másik test kering
  •  r \,\! a keringő test távolsága az elsődleges fókusztól
  •  a \,\! a keringő test fél nagytengelye

Ezek alapján a Hohmann-pálya eléréséhez szükséges sebességváltozás (delta-v) számítása (az azonnali változás esetére):

\Delta v 
= \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}
  \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right),
\Delta v^\prime 
= \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}
  \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right) ,

ahol r_1 és r_2 az indulási és az érkezési körpályák sugarai

Kepler harmadik törvénye szerint a két pálya közötti átmenet ideje:

 t_H 
= \begin{matrix}\frac12\end{matrix} \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3_H}{\mu}}
= \pi \sqrt{\frac {(r_1 + r_2)^3}{8\mu}}

(a keringési periódus fele az ellipszisen), ahol  a_H\,\! a fél nagytengelye a Hohmann-pályának.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alacsony Föld körüli pályáról geoszinkron pályára való átállás Hohmann-pályán haladva 5 órát vesz igénybe. Alacsony Föld körüli pályáról Hold körüli pályára körülbelül 5 napot, míg a Földtől a Mars pályájáig körülbelül 259 napot. (ez utóbbinál a bolygóval való találkozás érdekében figyelemmel kell lenni az indítási ablakra is).

Nevének eredete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Hohmann-pálya a nevét Walter Hohmann német mérnök iránti tiszteletből kapta, aki 1925-ben megjelent munkájában javasolta.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Walter Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Verlag Oldenbourg in München (1925). ISBN 3-486-23106-5 
  • Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B.. Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole (2003). ISBN 0-534-40896-6 
  • Bate, R.R., Mueller, D.D., White, J.E.,. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, New York (1971). ISBN 978-0486600611 
  • Vallado, D. A.. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 2nd Edition. Springer (2001). ISBN 978-0792369035 
  • Battin, R.H.. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, DC (1999). ISBN 978-1563473425 

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]