Heaviside-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Valahogy így nézne ki a Heaviside-függvény egy oszcilloszkóp ernyőjén

Az ún. Heaviside-függvény (a műszaki életben gyakran: egységugrás függvény) egy elemi egyváltozós valós függvény. A lépcsős függvények családjába tartozik, a szignumfüggvény egyszerű lineáris transzformáltja: kiszámolható, mint a független változó szignumának és az 1 konstansnak számtani közepe.

A függvényt a műszaki életben (például elektronika, vezérléselmélet, DSP, MNH- és általában MI-kutatás) is alkalmazzák. Gyakorta használják olyan szignálok leírására, melyek egy adott időponttól kezdve folyamatosan észlelhetőek. Általában H(x)-szel jelölik, de előfordul még a θ(x) és az u(x) jelölés is. Szokásos az ε(t) jelölés is.

Angolszász nyelvterületen a Heaviside function (Heaviside-függvény) néven kívül nevezik unit step functionnek („egységugrás függvény”), illetve hard limit functionnek („éleshatár”-függvény). Ezek az elnevezések a magyar nyelvű szakmunkákban is gyakran előfordulnak.

A függvény grafikonja a H(0) = 0,5
megállapodást használva

Történetéről[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvényt Oliver Heaviside (18501925) angol mérnök-fizikus-matematikus vezette be az elektronikus áramkörökben mért áramerősség elméleti leírására.

Többféle konvenció alakult ki arra nézve, hogy a 0 szakadási helyhez tartozó H(0) értéket hogyan definiálják. Eredetileg a H(0) := 0,5 megállapodás volt használatos, és ma is ez a leggyakoribb; későbbi szerzők a H(0) = 0 vagy a H(0) = 1 megállapodással is élnek (ld.: Heaviside-függvénycsalád).

A Heaviside-függvény definíciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


 H(x): \mathbb{R}\to \mathbb{R}; \ H(x) =

  1. =  \mbox{ }_{ \ \begin{cases} 1, & \mbox{ha }x>0; \\ \frac{1}{2} , & \mbox{ha }x=0; \\ 0, & \mbox{ha }x<0 \end{cases} }
  2. =  \frac{\sgn(x)+1}{2}
  3. =  \int_{-\infty}^x { \delta(t)} dt
  4. =  \lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau


A függvényt többek között esetszétválasztásos úton ([1]), vagy az ún. szignumfüggvény (sgn(x)) felhasználásával ([2]) lehet definiálni.

Értékei azonban infinitezimális (azaz határértékeket, például Riemann-integrált használó) úton is számolhatóak: a δ(t) Dirac-féle deltafüggvény általánosított Riemann-integrálásával, azaz ún. improprius integrálásával ([3]), illetve egy komplex függvénytani formulával ([4]).

A Heaviside-függvénycsalád[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

H0(x)
H1/2(x)
H1(x)

A H(0) = 0,5 egyenlőség helyett megállapodhatunk bármely másik valós számban is, a függvény 0 helyen vett értéke mi legyen. Így definiálható végtelen sok (kontinuum sok) függvény, melyek „majdnem mindenütt” egyenlőek az itteni képlettel definiált függvénnyel:

Hz(x): ℝ→ℝ;  Hz(x) =  \ \begin{cases} 1, & \mbox{ha }x>0; \\ z , & \mbox{ha }x=0; \\ 0, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}

ahol z∈ℝ tetszőleges valós szám lehet.

Ezek közül leggyakrabban H0(x) (tehát melyre H0(0)=0) illetve a H1(x) (tehát melyre H1(0)=1) használatosak. Megvan az az előnyük, hogy elegendő csak kettős esetszétválasztással definiálni őket, és nem kell három esetet megkülönböztetni.

Pl.:

H0(x): ℝ→ℝ;  H0(x) =  \ \begin{cases} 1, & \mbox{ha }x>0; \\ 0, & \mbox{ha }x \le 0 \end{cases}



Mellesleg, H1(x) egyszerű lineáris transzformáltja H0(x)-nak:

H1(x)  =  -H0(-x)+1


Néha a Hz(x) jelölést a H(x-z), még inkább a H1(x-z) rövidítésére is használják; noha ily módon csak egy nagyon egyszerű lineáris transzformációt rövidítenek.

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemnegativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: H(x)≥0


és

|H(x)| = H(x) .


  • Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív (hiszen 1), a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Ez a Hz(x) családnak csak azon tagjaira igaz, melyekre z≥0. Az x = 0 kivételével azonban a család összes többi tagja is mindenütt másutt nemnegatív.

Korlátosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A teljes értelmezési tartományon korlátos, hiszen

∀x∈ℝ: |H(x)|≤1

Az 1. definíció alapján ez nyilvánvaló, hiszen x>0 esetén a függvény legfeljebb 1, és így abszolút értéke is legfeljebb 1; x=0 esetén a függvény 1/2, míg x<0 esetén 0, és az utóbbi esetekben is kisebb 1-nél, de nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, s így abszolút értéke is kisebb mint 1.

A Hz(x) család többi tagjai is mind korlátosak, csak épp az abszolútérték korlátja nem 1, hanem |z| (hasonlóan bizonyíthatóan az előző gondolatmenethez), tehát:

∀x∈ℝ: |Hz(x)|<|z|

Folytonosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem folytonos, mert 0-ban szakadási helye (ráadásul nem megszüntethető szakadása) van, de 0-t kivéve az értelmezési tartomány összes többi pontjában folytonos. Összességében: majdnem mindenütt folytonos.

Ez igaz a Hz(x) család összes többi tagjára is.

Derivált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt a konstans 0 függvény, tehát

H'(x) = 0(x) = 0 ha x≠0 .


(tehát a H(x) mint függvény deriváltja a 0(x) konstans 0 függvény, míg a H(x) x helyen felvett értéke a 0 szám).

Hiszen a függvény mindenütt konstans, tehát deriváltja, ahol csak létezik, 0. És a 0 helyet kivéve, minden más helyen létezik.

Azonban a deriváltfüggvényt a kibővített valós számok halmazán (ℝ∪{±∞}) értelmezve, a 0 helyen is létezik derivált, mégpedig a Dirac-deltafüggvény[1]; mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞.

A deriváltra vonatkozó fenti megállapítások igazak a Hz(x) család összes többi tagjára is.

Integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Integrálja az ún. rámpafüggvény:

 \int_{-\infty}^{x} H(x)dx = R(x) = \ \begin{cases} x, & \mbox{ha }x \ge 0; \\ 0, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}

Fourier-transzformált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \mathcal{F}_{k}(H(x))  =  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ikx} H(x)dx  =  \frac{1}{2} \left( \delta (k)- \frac{i}{\pi k} \right)

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Iteráció-stabilitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az iterációra („önmagára való alkalmazásra”) nézve nem invariáns, ugyanis H<2>(x) második iteráltja nem önmaga, hanem

H^{<2>}(x) = \frac{H_{1}(x)+1}{2}.

Magasabb fokú iteráltjai azonban n = 3-tól kezdve már stabilizálódnak, a harmadik iterált már iteráció-invariáns, sőt iteráció-fix; a stabil iterált pedig a konstans 1 függvény:

H^{<n>}(x) = 1(x) = 1 ha n≥3 (n∈ℕ).[2]

Ezt úgy láthatjuk be, hogy az alábbi táblázatban sorról sorra kiszámítjuk az értékeket, minden oszlop értékei az előző oszlop megfelelő cellájában lévő érték H(x) szerinti képe.

n x>0 x=0 x<0 H<n>(x)
 0   x  x  x  id
 1  1 1/2 0 H(x)
 2  H(1) =
1
H(1/2) =
1
H(0) =
1/2
  \mbox{ }_{ \frac{H_{1}(x)+1}{2} = \ \begin{cases} 1, & \mbox{ha }x \ge 0; \\ \frac{1}{2}, & \mbox{ha }x<0 \end{cases} }
 3  H(1) =
1
H(1) =
1
H(1/2) =
1
1(x)
 4  H(1) =
1
H(1) =
1
H(1/2) =
1
1(x)

Ez igaz a Hz(x) család z>0 paraméterű tagjaira is. A z<0 negatív paraméterű tagok iteráltja nem stabilizálódik, hanem az n=1-rendű iterált (az eredeti függvény) és egy másik függvény (az n=2-rendű iterált) közt felváltva ingadozik.

Diszkrét Heaviside-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az értelmezési tartomány ℕ-re szűkítésével kapjuk a diszkrét Heaviside-függvényt:

 H(n) =  \sum_{k=-\infty}^{n} \delta(k) = \begin{cases} 0, & \mbox{ha }n < 0 \\ 1, & \mbox{ha }n \ge 0 \end{cases} \,

ahol δ(k) a Kronecker-deltafüggvény.

Technikai felhasználása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elektronikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Erősítő, vagy szabályzókör bemenetére egységugrás függvény szerinti jelet (gyakorlatilag négyszögjelet) kapcsolva a kimeneti jel alapján a frekvenciamenetre, és a stabilitásra vonatkozó következtetéseket lehet levonni (a frekvenciamenet vizsgálat pontosabb eredményt ad).

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Unit-pulse response. electropedia.org, 2011. (Hozzáférés: 2011. október 3.)
  2. A félreérthető 1(x) = 1 egyenlőség ama két állítást tömöríti, hogy az iterált függvény a konstans 1 függvény, ennélfogva a függvényértékek mindenütt az 1 számmal egyenlőek; s nem szabad úgy kiolvasni, hogy a konstans módon 1 értéket felvevő valós-valós függvény azonos lenne az 1 valós számmal (csupán az értékei).

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]