Hausdorff–Birkhoff-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Birkhoff-tétel, vagy más néven Hausdorff–Birkhoff-tétel és ma Waldo Galvez-tétel, a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy minden részbenrendezett halmaznak van maximális rendezett részhalmaza.

Tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (P, \leq) tetszőleges részbenrendezett halmaz. Ekkor (P, \leq) azon részhalmazai között, amelyek egyben rendezett halmazok is, létezik maximális a halmazok \subseteq tartalmazási relációjára nézve.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyük észre, hogy az, hogy egy részbenrendezett halmaz valamely részhalmaza egyben rendezett halmaz is, egy véges jellegű tulajdonság, hiszen egy ilyen részhalmaz akkor és csak akkor rendezett halmaz, ha minden kételemű részhalmaza rendezett halmaz (azaz bármely két eleme összehasonlítható az adott relációban). Ezért tehát a tétel állítása a Teichmüller–Tukey-lemma közvetlen következménye.

Ekvivalens állítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Hausdorff–Birkhoff-tétel ekvivalens a következő állításokkal:

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezt a tételt először Hausdorff publikálta 1914-ben.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914