Hatványvonal

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A síkon két kör hatványvonalán azon pontok halmazát értjük, melyekből azonos hosszúságú érintő húzható a körökhöz. Ez a vonal egy, a középpontokat összekötő szakaszra merőleges egyenes lesz.

Annak bizonyítása, hogy ezek a pontok egy egyenesen lesznek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


A hatványvonal előáll két sík metszéseként, tehát egyenes

Geometriailag[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lesz egy ilyen egyenes ahonnan ugyanolyan hosszú érintőket lehet húzni:

A két kör fölé metsző gömböket állítok. A metszéskörük síkja és az alapsík metszése lesz a hatványvonal. Ebből a vonalból a két körhöz húzott érintők hossza megegyezik a metszéskörhöz húzott érintők hosszával, tehát egymással is megegyeznek.


A szelőtétel alapján a metszéskör síkja mindig ugyanott metszi a körök középpontját összekötő egyenest

Ez az egyenes bármely két metsző gömb esetén ugyanaz:

Tekintsük az alapsíkra merőleges, körök középpontjain átmenő egyenest tartalmazó síkot (lásd ábra). A hatványvonal és a körök centrálisának metszéspontjának a két körre vonatkozó hatványa egyenlő, és csak egy ilyen pont van azon az egyenesen.

Semmilyen más pont nem lesz jó:

Egy ilyen tulajdonságú pontból felveszünk két metsző gömböt a körök fölé, vesszük az érintőkúpjaikat. Ezek metszése érinteni fogja mindkét gömböt, tehát a gömbök metszéskörét is, és annak síkjában lesz (?), ami pedig csak a hatványvonalat metszi ki.


A két középponttól való távolság négyzete állandó - a mértani hely egy egyenes

Koordináta-geometriával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a két kör középpontja O_A és O_B, a hatványvonal talppontja M, rajta egy tetszőleges P pont, ahonnan húzott érintési pontok T_A és T_B (lásd ábra).

A Pitagorasz-tétel értelmében a hatványvonalon levő pontoknak a középpontoktól való távolságuk négyzeteinek különbsége állandó:

{PO_A}^2-{PO_B}^2={PT_A}^2+{R_A}^2-{PT_B}^2-{R_B}^2={R_A}^2-{R_B}^2 ami két kör sugárnégyzeteinek különbsége, valóban nem függ P-től.

P ponthoz a körök középpontjaitól való távolságok négyzeteinek különbsége nem függ pontnak a körök középpontjai által meghatározott egyenestől való távolságától, pusztán annak merőleges vetületének helyétől:

{PO_A}^2-{PO_B}^2={PM}^2+{MO_A}^2-{PM}^2-{MO_B}^2={MO_A}^2-{MO_B}^2

Tehát a merőlegesen levő pontoknak ugyanakkora a középpontoktól való távolságnégyzeteik különbsége, tehát tényleg ugyanolyan hosszú érintő húzható belőlük.

Csak ezek a pontok lesznek jók: Az O_AO_B egyenesen egy M ponthoz tartozó távolságnégyzet különbségek:

{MO_A}^2-{MO_B}^2={MO_A}^2-{(MO_A+O_AO_B)}^2=-2MO_A \cdot O_AO_B+{O_AO_B}^2

Ami monoton (ha MO_A, MO_B O_AO_B szakaszokat irányítottan tekintjük), és folytonos, tehát csak egy olyan M létezik, hogy {MO_A}^2-{MO_B}^2={R_A}^2-{R_B}^2.


Körök speciális elrendezései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Két koncentrikus, ugyanakkora sugarú kör esetén a hatványvonal az egész sík,
  • két koncetrikus, eltérő sugarú kör esetén nincs hatványvonal,
  • két metsző kör (hiperbolikus-körsor) esetén a hatványvonal átmegy a két metszésponton,
  • két érintkező (parabolikus-körsor) kör esetén a hatványvonal az érintkezési ponton átmenő, köröket érintő egyenes
  • két nem metsző (elliptikus-körsor) kör esetén a hatványvonal egy, a körökön át nem menő egyenes
  • ha az egyik vagy mindkettő kör ponttá fajul, akkor érintő hossza helyett a tőle való távolságot vesszük
  • ha az egyik kör tart az egyeneshez, akkor tart a hatványvonalhoz (ha adott két kör, az egyiknek egy rögzített P kerületi pontja, és az O középpontját elkezdjük egy adott irányba végtelen messzire távolítani, akkor a hatványvonal határesete átmegy a rögzített P ponton, és merőleges a PO sugárra)


Háromból két-két kör hatványvonalainak metszése rajta van a harmadik pár hatványvonalán

Hatványpont[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három általános helyzetű kör hatványvonalai egy pontban metszik egymást. Ekkor a metszéspontból húzott érintők egyenlő hosszúak: PT_A = PT_B = PT_C

Bizonyítás: legyenek a körök A, B, C. Két hatványvonal, mondjuk A és B hatványvonalának és B és C hatványvonalának P metszéséből ugyanolyan hosszú érintőt lehet húzni A-hoz és B-hez, és B-hez és C-hez, tehát A-hoz és C-hez is, tehát rajta van A és C hatványvonalán.

Ha két hatványvonal párhuzamos, azaz a három kör középpontja egy egyenesbe esik, akkor a harmadik hatványvonal is párhuzamos velük.


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]