Hardy-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha a_1,a_2,\dots nemnegatív valósokból álló sorozat és p >  1, akkor

\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{S_n}{n}\right)^p\leq \left(\frac{p}{p-1}\right)^p\sum^\infty_{n=1}a^p_n

teljesül, ahol S_n=a_1+\cdots+a_n. A szereplő \left(\frac{p}{p-1}\right)^pkonstans pontos.

Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ).

A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata:

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\operatorname{ d}x\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt.

Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül.[1] Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával.

Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is.

Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az Lp-terek elméletében.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.
  • Hardy, G. H., Littlewood. J.E.; Pólya, G.. Inequalities, 2nd ed. Cambridge University Press (1952. augusztus 13.). ISBN 0521358809 

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]