Hamel-bázis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

(Hamel bázis szócikkből átirányítva)

A Hamel-bázis a lineáris algebrában olyan vektorok egy csoportja, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér bármely eleme egyértelműen áll elő. A „Hamel-bázis” elnevezés csak a Schauder-bázistól való megkülönböztetésre használatos, egyértelmű esetekben egyszerűen bázisról beszélünk.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Egy B ∈V vektorhalmaz, ami tartalmazhat véges vagy akár végtelen sok vektort is, definíció szerint akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. (Szemben a Schauder-bázissal, ami végtelen sok elemmel való előállítást is megenged.)

Egész pontosan ez azt fejezi ki, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól. Formálisan ez azt jelenti, hogy

B bázis ⇔ bármely B0 ⊆B ⊆ V véges vektorhalmazra
  • \lambda_1\mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0} \Leftrightarrow \lambda_1=\ldots=\lambda_n=0,\ \forall\ \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\ \in B_0
  • \forall\ \mathbf{v} \in V:\ \exists\ \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k \in B\ \wedge\ \lambda_1,\ldots,\lambda_k\ \in \mathbf{F}:\ \mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_k\mathbf{v}_k

[szerkesztés] Tulajdonságok

A definíció folyományaként

Állítás
Egy v1,…,vn vektorrendszer akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme egyértelműen előáll a v1,…,vn vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy adott V ≠ 0 vektortérben B bázis, akkor és csak akkor, ha a következő, ekvivalens feltételek közül valamelyik teljesül.

  1. B maximális lineárisan független vektorrendszer V-ben.
  2. B minimális generátorrendszer V-ben.
Feltétel bázis kiválasztására, illetve bázisra való kiegészítésre
  • Egy V ≠ 0 vektortér bármely (véges) generátorrendszere tartalmaz bázist.
  • Ha egy V vektortérnek van (véges) generátorrendszere, akkor bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető bázissá.

[szerkesztés] Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{b}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{b}_n

alakban.
Ekkor az \alpha_i\ skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag.

[szerkesztés] Példák

  • a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
  • hasonlóan \mathbb{E}^3 -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas
\mathbf{i}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{j}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{k}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
  • \mathbb{R}^n-ben ortonormált bázist alkot az
\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\ldots, \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
vektorhalmaz, mely \mathbb{R}^n standard bázisa.
  • \mathrm{F}^{n \times k} -ban bázis
\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}_{n\times k}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}_{n\times k},\ldots, \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{n \times k}
ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
  • az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}
vektorok.
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: \{1,x,x^2,\ldots,x^k\}

[szerkesztés] Kicserélési tétel

Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátrrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_{i-1},\mathbf{g}_j,\mathbf{f}_{i+1},\ldots,\mathbf{f}_n
is lineárisan független rendszer.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Mivel f2,…,fn független, így mindegyik gj előáll ezek lineáris kombinációjaként. Ekkor a gj-k minden lineáris kombinációja is felírható az f2,…,fn vektorokkal. A gj-k azonban generátorrendszert alkotnak, azaz lineáris kombinációik kiadják az egész vektorteret. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
Ekkor n ≤ k.
Bizonyítás
Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
Következmény
Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két (Hamel-)bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

[szerkesztés] Lásd még

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Hamel-b%C3%A1zis”
Személyes eszközök