Hérón képlete

Héron képlete a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ahol

$s = \frac 12 (a+b+c) \,$

ahol a, b et c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

[szerkesztés] Bizonyítás

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

$A \,$	$= \frac 12 ab\sin\gamma\,$
	$=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,$
	$=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,$
	$=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}$
	$=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}$
	$=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,$