Gyöktelenítés

A gyöktelenítés a matematikában olyan módszerek összefoglaló neve, melyek során egy törtet úgy alakítunk át (értékének megőrzése mellett), hogy nevezőjében ne szerepeljen gyökjel. Az eljárás pontosabb neve: törtek nevezőjének gyöktelenítése. Időnként a számláló gyökmentes alakra hozására is szükség van, tágabb értelemben ez is gyöktelenítés.

A gyöktelenítés általában egy megfelelő gyökös kifejezéssel történő bővítéssel és különféle nevezetes azonosságok felhasználásával történik. A gyöktelenítés egyszerűbb módszerei a magyar középfokú oktatásban szerepelnek a kötelező (általában a tizedikes osztályok számára előírt) tananyagban.

Egyszerűbb kifejezések gyöktelenítése

Négyzetgyöktelenítés

1. ${\frac {a}{m{\sqrt {b}}}}$ gyöktelenítése (a,b,m ∈ Q racionális számok és m≠0, b≥0). Bővítünk a nevezőben szereplő gyökkifejezéssel:

${\frac {a}{m{\sqrt {b}}}}={\frac {a}{m{\sqrt {b}}}}\cdot {\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {b}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{m{\sqrt {b}}{\sqrt {b}}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{m\left({\sqrt {b}}\right)^{2}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{mb}}$

2. ${\frac {a}{{\sqrt {b}}+c}}$ gyöktelenítése (a,b,c ∈ Q racionális számok és b≥0). Bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés ún. konjugáltjával, ${\sqrt {b}}-c$-vel, majd az

$(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\,$

nevezetes azonosságot alkalmazzuk:

${\frac {a}{{\sqrt {b}}+c}}={\frac {a}{{\sqrt {b}}+c}}\cdot {\frac {{\sqrt {b}}-c}{{\sqrt {b}}-c}}={\frac {a\left({\sqrt {b}}-c\right)}{\left({\sqrt {b}}+c\right)\left({\sqrt {b}}-c\right)}}=$ $={\frac {a\left({\sqrt {b}}-c\right)}{\left({\sqrt {b}}\right)^{2}-c^{2}}}={\frac {a\left({\sqrt {b}}-c\right)}{b-c^{2}}}$

Egy ${\frac {a}{{\sqrt {b}}-c}}$ alakú kifejezés gyöktelenítése ugyanígy megy, csak ott ${\sqrt {b}}+c$ -vel bővítünk.

Az utóbbi két módszer akkor is gyökteleníti a nevezőt, ha $c={\sqrt {d}}$, azaz maga is egy racionális szám négyzetgyöke:

${\frac {a}{{\sqrt {b}}-{\sqrt {d}}}}$

hiszen a végeredményül kapott tört nevezőjében c² szerepel.

n-edik-gyöktelenítés

${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b}}}$ gyöktelenítése (a,b ∈ R valós számok, n∈N olyan természetes szám; mely legalább kettő; és ha n páros, b≥0): bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés n-1-edik hatványával:

${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b}}}={\frac {a}{\sqrt[{n}]{b}}}\cdot {\frac {\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}}={\frac {a\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}{{\sqrt[{n}]{b}}\cdot \left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}}={\frac {a\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}}}={\frac {a\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n-1}}{b}}$

További példák

A fentebb leírt példákban előforduló kifejezések természetesen nem merítik ki az összes gyökkifejezéses nevezőjű törteket, a leírt módszerek pedig nem alkalmasak minden ilyen tört gyöktelenítésére. A kettőnél több gyök összegét tartalmazó törtek nevezőjének gyöktelenítése például több lépésben történhet a konjugálttal való bővítés és az egyszerű bővítés módszerét alkalmazva, ezeket esetleg kombinálva vagy bármelyiküket többször ismételve:

${\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}}={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\right)\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}\right)}}$ $=$
$=$ ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)^{2}-\left({\sqrt {7}}\right)^{2}}}$ $=$ ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}}{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}+5\right)-7}}$ $=$
$=$ ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}}{\left(7+2{\sqrt {10}}\right)-7}}$ $=$ ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}-{\sqrt {7}}}{2{\sqrt {10}}}}$ $=$
$=$ ${\frac {{\sqrt {20}}+{\sqrt {50}}-{\sqrt {70}}}{20}}$

Hasonlók mondhatóak, ha a nevezőben gyökjel alatt további gyökjelek szerepelnek.

A gyöktelenítés szerepe, alkalmazásai

Irracionális, konvergens sorozatok

A gyöktelenítés jellegzetes alkalmazása, amikor gyököt tartalmazó konvergens sorozat konvergenciáját kívánjuk igazolni. Az alábbi példában a számlálót gyöktelenítjük.

$\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}=0$

Inverz meghatározása a számkörbővítésben

A racionális számok elsőfokú bővítéseiben az inverz elem általában a szám reciproka. Például az a + b√2 alakú számok esetén, ahol a és b racionális számok, a nemnulla a + b√2 szám inverzét a reciproka konjugálttal való bővítésével kapjuk:

${\frac {1}{a+{\sqrt {2}}b}}={\frac {a-{\sqrt {2}}b}{(a+{\sqrt {2}}b)(a-{\sqrt {2}}b)}}={\frac {a-{\sqrt {2}}b}{a^{2}-2b^{2}}}$

(A √2 irracionalitásának bizonyításához hasonló módon belátható, hogy a nevező sosem lesz nulla).

Hasonló alkalmazása van a komplex szám reciprokának kiszámításánál, amikor algebrai alakban szeretnénk az eredményt, hiszen a komplex számok teste nem más, mint a valós számtest √(-1) elemhez tartozó testbővítése. Ha a + bi nemnulla komplex szám, akkor

${\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}}={\frac {a-bi}{a^{2}-(-1)b^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}$

Táblázatokkal történő számolás megkönnyítése

Amikor számológép nélkül egy olyan tört tizedestört alakját szándékszunk kiszámolni, amelynek nevezőjében egy irracionális számértéket felvevő gyökkifejezés áll, akkor, lévén a gyökkifejezés közelítő értéke többjegyű, a számlálóban álló számot egy, a nevezőben álló többjegyű számmal kell osztani (a követelmények szerint általában három tizedesjegyig kell számolni a közelítő értéket); holott a tört gyöktelenített alakjában egyszerűbben végezhető el az osztás.

Például a $t\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \sim \ 0,707106781...$ törtet kiszámolva, a nevezőben álló gyök kettő értéke két tizedesjegyre 1,414, tehát $t\ \sim \ {\frac {1}{1,414}}={\frac {1000}{1414}}$, azaz egy négyjegyű számmal kell osztani. Ugyanakkor a t-vel azonos értékű, de nevezőjében gyökjelet nem tartalmazó ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ tört kiszámolásakor elegendő csak a sokkal egyszerűbb kettővel való osztást végezni: $t\ \sim \ {\frac {1,414}{2}}$, ami technikailag is egyszerűbb, könnyebb és így gyorsabb is.

A műveletvégzés hibájának leszorítása

Ha számológéppel számolunk, akkor a számolás fenti értelemben vett könnyűsége és időigénye a háttérbe kerül, vagy egészen jelentéktelenné válik, marad azonban egy másik probléma, a pontosságé. Az alábbi táblázatban a fent említett t tört egyre nagyobb pontossággal közelítő értékei láthatóak kétféleképp (gyökös, illetve gyöktelenített nevezőjű közelítő törttel) számolva. A gyöktelenített alakban számolt közelítések pontosabbak (kisebb a hiba). Ez a jelenség a 0-hoz közeli törtek esetében nyilvánul meg a legerősebben (az f(x)=a/x függvény „a 0 közelében ugyanis a végtelenbe tart”, azaz kis eltérés a nevező(ben lévő gyök) pontos értéktől a függvényértékek, vagyis a közelítőleg és pontosan számolt törtek értékének igen nagy eltérését, azaz a közelítés nagy hibáját is eredményezheti – míg gyöktelenített tört esetében a gyök közelítő és pontos értékének eltérése a számlálóban „manifesztálódik”, így a tört megközelítésének hibája általában kisebb, mint a gyökös része közelítésének hibája, hisz az előbbi kiszámolásakor az utóbbi még le is osztódik a nevezővel s így ált. csökken).

pontosság	gyökös nevezőjű tört	tizedestört alakja	hiba	gyöktelenített nevezőjű tört	tizedestört alakja	hiba
egy tizedesjegy	${\frac {1}{1,4}}$	0,71428571…	~ 14 ezr.	${\frac {1,4}{2}}$	0,70	~ 7 ezr.
két tizedesjegy	${\frac {1}{1,41}}$	0,7092198581..	~2,11 ezr.	${\frac {1,41}{2}}$	0,7050	~2,10 ezr.
három tizedesjegy	${\frac {1}{1,414}}$	0,70721357850..	~ 0,1067973 ezr.	${\frac {1,414}{2}}$	0,7070	~ 0,106781 ezr.
négy tizedesjegy	${\frac {1}{1,4142}}$	0,707113562…	~ 6,7813 mm.	${\frac {1,4142}{2}}$	0,70710	~ 6,7812 mm.
öt tizedesjegy	${\frac {1}{1,41421}}$	0,707108562…	~ 1,781191 mm.	${\frac {1,41421}{2}}$	0,7071050	~ 1,781186 mm.

Az olyan számítástechnikai motivációk, miszerint a közelítő értékekkel osztani a számológépen is nehezebb e gépek „soros bemenete” miatt – azaz valahová (akár papírra, akár a gép memóriájába) fel kell jegyezni a nevezőből eredő gyökközelítő értékeket az osztáshoz, mert a gyök kiszámítása törölné a számlálóból származó bemenetet – a tudományos kalkulátorok elterjedésével – ezek általában tartalmazzák az 1/x gombot, melynek alkalmazása ezt a nehézséget áthidalja – elvesztették jelentőségüket, de csak alapműveleteket számítani képes (esetleg memória nélküli), egyszerűbb számológépekkel rendelkezők számára mindenkor fennállnak.

Hivatkozások

Külső hivatkozások

• Rationalizing the Denominator. Mathwords.com.