Gyökrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Gyökrendszeren (a matematikában) egy euklideszi vektortér olyan véges generátorrendszerét értjük, melynek (később definiálandó) speciális geometriai tulajdonságai (ld. lentebb) segítségével jól jellemezhetők a vektortér tükrözési szimmetriái.

Motiváció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}

a koordinátatérben értelmezett olyan integrálható függvény, mely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden origó középpontú, a tengelyekre illeszkedő csúcsú szabályos oktaéder felületén konstans értéket vesz fel. Ekkor az f függvény olyan tükrözési szimmetriát mutat, ami miatt elegendő az első térnyolcadban kiszámítani az integrál értékét, majd azt megszorozni nyolccal:

\int f=8\;\cdot \int f|_{\,_{(0,+\infty)^3}}

Világos, hogy itt a szimmetria nem más mint a (1,0,0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) normálvektorú, origón áthaladó síkokra történő tükrözések szimmetriája. A

B=\{(1,0,0), (0, 1, 0),(0, 0, 1)\}\,

sztenderd bázis minden elemét tükrözve az említett síkokra kapjuk, az

R=\{(1,0,0), (0, 1, 0),(0, 0, 1), (-1,0,0), (0, -1, 0),(0, 0, -1)\}\,

vektorhalmazt, melynek pont 8 olyan részhalmaza van, mely egyben a koordinátatér bázisa is. Ezek feleltethetők meg a térnyolcadoknak és innen a 8-as szám. R zárt a fenti tükrözésekre, és elemeinek lineáris kombinációjával előállítható a vektortér összes eleme.

Érdemes megjegyezni, hogy egy origón áthaladó síkra vonatkozó tükrözés hozzárendelési utasítása előállítható a vektorműveletek segítségével. Ha n az S (origón áthaladó) sík normálvektora, akkor a v vektor S-re vonatkozó tükörképe:

\mathbf{v}'=\mathbf{v}-2 \frac{\mathbf{v}\mathbf{n}}{\mathbf{n}\mathbf{n}}\mathbf{n}

ahol

\frac{\mathbf{v}\mathbf{n}}{\mathbf{n}\mathbf{n}}

a v vektor n (nem feltétlenül egység hosszúságú) normálvektor egyenesére eső merőleges vetülete, melyet a \cdot skaláris szorzással állítottunk elő.

Bonyolultabb vektortér esetén egyáltalán nem triviális megtalálni az egyszerűsítésre lehetőséget adó szimmetriákat, így érdemes keresni az R-hez hasonló tulajdonságú vektorhalmazokat (ezek lesznek a gyökrendszerek).

Absztrakt gyökrendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tükrözések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció – Legyen V véges dimenziós vektortér a k test felett és α ∈ V vektor. Azt mondjuk, hogy az sHom(V) lineáris transzformáció egy α által meghatározott tükrözés, ha

1)\;\;s(\alpha)=-\alpha\,
2)\;\;dim\,H=dim\,V - 1
teljesül az s által fixen hagyott pontok alkotta H altérre (vagyis a H:={hV | s(h)=h } halmaz a V hipersíkja).

A lineáris leképezések előírhatósági tétele felhasználásával bizonyítható, hogy minden nemnulla α ∈ V esetén létezik egyetlen, α által meghatározott tükrözés. Ezt s α-val jelöljük.

Tulajdonságok

A V* duális tér tulajdonságaiból adódik, hogy létezik egy kitüntetett

\varphi:V\mbox{*}\otimes V\rightarrow Hom(V)

vektortérizomorfizmus éspedig a következő hozzárendelési utasítással:

\varphi(\mathbf{v}\mbox{*}\otimes \mathbf{v}):\mathbf{w}\mapsto\mathbf{v}\mbox{*}(\mathbf{w})\mathbf{v}

Ennek felhasználásával juthatunk el a tükrözések geometriai tulajdonságaihoz.

Állítás – Ha sHom(V) és α∈V \ { 0 }, akkor az alábbi három kijelentés egymással ekvivalens:

(i) s egy α által meghatározott tükrözés,
(ii) létezik olyan α * ∈ V* elem, hogy
s=Id_V-\varphi(\alpha\mbox{*}\otimes\alpha)
és α*(α)=2,
(iii) s2=IdV és Im( sIdV ) = kα (k a vektortér alatt fekvő test).

Ha a fenti tulajdonságok teljesülnek, akkor α*-ot s egyértelműen meghatározza.

Megjegyzés – A (ii)-es pontban lévő α*-ot úgy kapjuk, hogy vesszük a H:={hV | s(h)=h } hipersíkot és definiáljuk azt az α* lineáris leképezést, melyre Ker(α*)=H és α*(α)=2.

A V2-n értelmezett (v,w)\mapsto(v,w)α:=α*(v)α*(w) leképezés a skaláris szorzat szerepét játszhatja, ha v helyére α-t helyettesítünk. Ha ugyanis w=h+μα alkalmas hH-val és μ ∈ k-val, akkor (α,w)α=α*(α)α*(μα)=4μ=(α|α)αμ, így valóban fennáll a tükrözés hozzárendelési utasítására a s_{\alpha}(\mathbf{w})=\mathbf{w}-2\frac{(\alpha, \mathbf{w})_{\alpha}}{(\alpha,\alpha)_{\alpha}}\alpha formula.

Gyökrendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció – A k test feletti véges dimenziós V vektortér véges sok, nemnulla vektorának R halmazát gyökrendszernek nevezzük, ha

(i) R generátorrendszere V-nek,
(ii) minden αR-re az általa meghatározott sα tükrözés olyan, hogy sα(R)=R,
(iii) minden R-beli α és β elemre teljesül, hogy sα(β) – β ∈ Zα (azaz sα(β) – β az α egész számú többszöröse).

R elemeit gyököknek nevezzük.

Megjegyzés – a (iii) tulajdonságot szokás krisztalografikus tulajdonságnak is nevezni, mert ennek köszönhető, hogy a gyökrendszer rácsként is ábrázolható.

További elnevezések:

  • oszthatatlan gyök – a (iii) tulajdonsághoz kapcsolódva, számelméleti megfontolásokkal belátható, hogy ha két gyök párhuzamos egymással, például létezik tZ, hogy α = t β , akkor szükségképpen t∈{\pm½,\pm 1,\pm 2}. Az α gyökkel párhuzamos gyökök halmaza tehát vagy {α, -α}, vagy {α, ½α, -½α, -α}, vagy {α, 2α, -2α, -α}, . Azt mondjuk, hogy egy α gyök oszthatatlan, ha ½α nem eleme R-nek (azaz a gyökkel csak az ellentettje párhuzamos a gyökök között).
  • redukált gyökrendszer – azt mondjuk, hogy a gyökrendszer redukált, ha minden gyöke oszthatatlan; gyakran a gyökrendszer fogalmába beleértik a redukált tulajdonságot és (iv)-es tulajdonságként szerepeltetik a definícióban.
  • irreducibilis gyökrendszer – ha a V vektortér, két altere direkt összegére bontható és mindkét altérhez találunk gyökrendszert, akkor a két gyökrendszer uniója V-nek is gyökrendszere; ha V egy R gyökrendszere előáll két V-t direkt összegként előállító altér gyökrendszerének uniójaként, akkor R felbontható (reducibilis); ellenkező esetben R-et felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük.

Gyökrendszer Weyl-csoportja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció – Ha R gyökrendszer a V vektortérben, akkor az Aut(V) (automorfizmus csoport) S:={sα | α ∈ R} halmaz által generált részcsoportját a gyökrendszer Weyl-csoportjának nevezzük és W(R)rel jelöljük.

ÁllításAut(R) és W(R) véges részcsoportjai Aut(V)-nek. W(R) normálosztó Aut(R)-ben.

Gyökrendszerek osztályozási tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökrendszereket gráfokkal reprezentálhatjuk, melyeket Dynkin-diagramoknak nevezzük. Minden redukált gyökrendszer besorolható 4 végtelen (An, Bn, Cn, Dn) és 5 úgy nevezett sporadikus típusba (E6, E7, E8, F4, G2) az izomorfizmus erejéig. Az osztályozás mikéntjét lásd a Dynkin-diagramoknál.

Néhány tétel gyökrendszerekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tétel – A gyökrendszert egyértelműen meghatározza a Dynkin-diagramja. A gyökrendszer Dynkin-diagramja pontosan akkor összefüggő, ha a gyökrendszer irreducibilis.

Felhasznált irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Representation theory of Lie groups and Lie algebras [1]
  • Dragan Milicic: Lectures on Lie groups [2]