Grassmann-szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai fizikában, a Grassmann-szám (hívják antikommutáló számnak is) egy \theta_i mennyiség, amelyik antikommutál más Grassmann-számokkal, de kommutál rendes x_j számokal,

\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.

A fentiek miatt bármely Grassmann-szám négyzete eltűnik:

\theta_i\theta_i = 0.\,

A Grassmann-számok egy halmaza által generált algebra neve Grassmann-algebra (vagy külső algebra). n lineárisan független Grassmann-szám által generált Grassmann-algebra dimenziója 2n. Ezek a fogalmak mind Hermann Grassmann-ról kapták a nevüket.

A Grassmann-algebrák a szuperkommutatív algebrák prototípusai. Ezek páros és páratlan változókra széteső algebrák, ahol a páros elemek kommutálnak, a páratlanok pedig antikommutálnak.

Mátrix reprezentáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Grassmann-számokat mindig reprezentálhatjuk mátrixokkal. Tekintsük például a két Grassmann-szám (\theta_1 és \theta_2) által generált Grassmann-algebrát

Ezek a Grassmann-számok 4×4-es mátrixokkal reprezentálhatók:

\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}

Általában egy n generátoron alapuló Grassmann-algebra 2n × 2n-es mátrixokkal reprezentálható. Fizikai értelemben, ezekre a mátrixokra gondolhatunk úgy, mint Hilbert-téren ható keltő operátorokra n azonos fermionnal a betöltési állapotban.

Minden minden fermion betöltési száma 0 vagy 1, 2n számú betöltési állapot lehetséges. Matematikailag, ezek a mátrixok tekinthetők olyan lineáris operátoroknak, amelyek bal külső szorzásnak felelnek meg a Grassmann-algebrán magán.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantumtérelméletben Grassmann-számokat használnak a fermionmezők útintegráljának definiálására. A Berezin-integrálokat szintén Grassmann-számokon definiálják.

A Grassmann-számok alapvetőek a szupertér (lásd szuperszimmetria) definiálásakor, ahol antikommutáló koordináták szerepét játsszák.