Gompertz-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).


Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valószínűség-sűrűségfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f\left(x;\eta, b\right)=b\eta e^{bx}e^{\eta}\exp\left(-\eta e^{bx} \right)\text{for }x \geq 0, \,

ahol b > 0\,\! a skálaparaméter, és \eta > 0\,\! az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

F\left(x;\eta, b\right)= 1-\exp\left(-\eta\left(e^{bx}-1 \right)\right) ,

ahol \eta, b>0, és  x \geq 0 \, .

Momentumgeneráló függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\text{E}\left(e^{-t X}\right)=\eta e^{\eta}\text{E}_{t/b}\left(\eta\right)

ahol

\text{E}_{t/b}\left(\eta\right)=\int_1^\infin e^{-\eta v} v^{-t/b}dv,\ t>0.

A függvény alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter (\eta\,\!) értékétől függően:

  • Ha \eta \geq 1,\,, a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
  • Ha 0 < \eta < 1,\, a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa
x^*=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta\right)\text {with }0 < F\left(x^*\right)<1-e^{-1} = 0,632121

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
  • A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert b \,\!. skálaparaméterrel.
  • Amikor \eta\,\! a gamma-eloszlás szerint változik, \alpha\,\! alakparaméterrel, és \beta\,\! skálaparaméterrel, akkor az x eloszlása Gamma/Gompertz.
Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény
Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. (hely nélkül): Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. 2011. 
  • Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]