Gompertz-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).

Tulajdonságok

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f\left(x;\eta, b\right)=b\eta e^{bx}e^{\eta}\exp\left(-\eta e^{bx} \right)\text{for }x \geq 0, \,$

ahol $b > 0\,\!$ a skálaparaméter, és $\eta > 0\,\!$ az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

$F\left(x;\eta, b\right)= 1-\exp\left(-\eta\left(e^{bx}-1 \right)\right) ,$

ahol $\eta, b>0,$ és $x \geq 0 \, .$

Momentumgeneráló függvény

$\text{E}\left(e^{-t X}\right)=\eta e^{\eta}\text{E}_{t/b}\left(\eta\right)$

ahol

$\text{E}_{t/b}\left(\eta\right)=\int_1^\infin e^{-\eta v} v^{-t/b}dv,\ t>0.$

A függvény alakja

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter ($\eta\,\!$) értékétől függően:

• Ha $\eta \geq 1,\,$, a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
• Ha $0 < \eta < 1,\,$ a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa

$x^*=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta\right)\text {with }0 < F\left(x^*\right)<1-e^{-1} = 0,632121$

Kapcsolódó eloszlások

• Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
• A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert $b \,\!.$ skálaparaméterrel.
• Amikor $\eta\,\!$ a gamma-eloszlás szerint változik, $\alpha\,\!$ alakparaméterrel, és $\beta\,\!$ skálaparaméterrel, akkor az $x$ eloszlása Gamma/Gompertz.

Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény

Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. Cergy-Pontoise: ESSEC Business School.. 2011.
• Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1-14. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Gompertz-függvény
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény