Gauss-féle hibafüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hibafüggvény (Gauss-féle hibafüggvénynek is hívják) egy speciális, szigmoid (szigmoid-függvény) alakú (nem elemi) függvény, mely a valószínűségszámításban, a statisztika területén, és a parciális differenciálegyenleteknél fordul elő.

Hibafüggvény

Definicíója:[1][2]

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2} dt.

(Ha x negatív, akkor negatív integrálként értelmezik az x – zéró tartományban). A komplementer hibafüggvény (jelölése: erfc) definíciója:

\begin{align}
             \operatorname{erfc}(x) & = 1-\operatorname{erf}(x) \\
                                    & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt.
       \end{align}

Az imaginárius hibafüggvény (jelölése: erfi) definicíója:

\operatorname{erfi}(z) = -i\,\,\operatorname{erf}(i\,z)

A komplex hibafüggvény (jelölése: w(x)) (mint Faddeeva-függvényként is ismert) definicíója:

w(x) = e^{-x^2}{\operatorname{erfc}}(-ix) = e^{-x^2}[1+i\,\,\operatorname{erfi}(x)]

Hibafüggvény a gyakorlatban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hibafüggvényt a méréselméletben használják (valószínűségszámítás és a statisztika területén, valamint a matematika más ágaiban is, ahol ez az elnevezés ragadt meg. A hibafüggvény kapcsolódik a kumulatív eloszláshoz \Phi, a standard normális eloszlás integráljához (“Bell görbe”)[2]: \Phi (x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \operatorname{erf} (x/ \sqrt{2})

x ≥ 0 esetén, és

\Phi (x) = 1- \Phi (-x)

x ≤ 0 esetén a hibafüggvény pozitív x értékekre \frac{x}{\sigma \sqrt{2}} helyen megadja a mérés valószínűségét, a normális eloszlású hiba esetére, ahol a szórás \sigma, és a középértéktől való távolsága kisebb mint x.[3] Ezt a függvényt a statisztikában használják bármely minta viselkedésének megbecsülésére, a népességgel kapcsolatban. Ez az alkalmazás hasonló a Q-függvényhez, mely kapcsolódik a hibafüggvény jellemzőihez.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \operatorname{erf} (-z) = -\operatorname{erf} (z) egyenlet azt jelenti, hogy a hibafüggvény úgynevezett páratlan függvény. Bármely z complex számra:  

\operatorname{erf} (\overline{z}) = \overline{\operatorname{erf}(z)}

ahol \overline{z} a z komplex konjugáltja.

Ábrázolás a komplex síkon

Integrandusz  exp(–z2)
ƒ = erf(z)

Az ábrákon az ƒ = exp(–z2) és ƒ = erf(z) integranduszok ábrázolása látható a komplex z-síkon. A Im(ƒ) = 0 szint vastag zöld vonallal látható. Az Im(ƒ) negatív integer értékeit vastag piros vonal jelzi. \Im(f) pozitív integer értékeit vastag kék vonal jelzi. Im(ƒ)=konstans köztes szintjeit vékony zöld vonal jeleníti meg. Az Re(ƒ) = konstans köztes szintjeit vékony piros vonalak ábrázolják negatív értékekre és vékony kék vonalak pozitív értékekre. A valós tengelyen erf(z) közelít z → +∞, és –1-nél z → –∞.

Taylor-sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hibafüggvény egy úgynevezett teljes függvény: nincsenek szingularitásai (kivéve a végtelenben), és a Taylor-sora mindig konvergens. Az integrál meghatározását nem lehet zárt formában, elemi függvények kifejezéseivel elvégezni, de az e^{-x^2} integrandusza Taylor-sorba fejthető lépésenként, és akkor a következő egyenletet kapjuk:

\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)

mely érvényes minden z komplex számra. A fenti sorozat iteratív megközelítése a következő formában hasznos lehet:

\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(z \prod_{k=1}^n {\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}

mert a \frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)} kifejezi a szorzót, mely a kth -t (k + 1)th-ba változtatja. A hibafüggvény +∞ -nél pontosan 1 (lásd még Gauss integrál). A hibafüggvény deriváltja ebből a definícióból származik:

\frac{\rm d}{{\rm d}z}\,\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-z^2}.

A hibafüggvény antideriváltja:

z\,\operatorname{erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}}.

Inverz függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az inverz hibafüggvényt Maclaurin-sornak is lehet definiálni:

\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right )^{2k+1}, \,\!

ahol c0 = 1 és

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.

Az inverz komplementer hibafüggvény:

\operatorname{erfc}^{-1}(1-z) = \operatorname{erf}^{-1}(z).

Elemi függvényekkel történő közelítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Abramowitz és Stegun számos közelítő megoldást ad különböző pontossággal. Ez lehetővé teszi a felhasználónak, hogy kiválaszthassa a számára legalkalmasabb megközelítést. A következőkben növekvő pontosság mellett bemutatunk néhány közelítő megoldást:

\operatorname{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4)^4}    (maximális hiba: 5·10–4)

ahol a1=0.278393, a2=0.230389, a3=0.000972, a4=0.078108

\operatorname{erf}(x)\approx 1-(a_1t+a_2t^2+a_3t^3)e^{-x^2},\quad t=\frac{1}{1+px}    (maximális hiba: 2.5·;10–5)

ahol p=0.47047, a1=0.3480242, a2=-0.0958798, a3=0.7478556

\operatorname{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_1x+a_2x^2+...+a_6x^6)^{16}}    (maximális hiba: 3·;10–7)

ahol a1=0.0705230784, a2=0.0422820123, a3=0.0092705272, a4=0.0001520143, a5=0.0002765672, a6=0.0000430638

\operatorname{erf}(x)\approx 1-(a_1t+a_2t^2+...+a_5t^5)e^{-x^2},\quad t=\frac{1}{1+px}    (maximális hiba: 1.5·10–7)

ahol p=0.3275911, a1=0.254829592, a2=–0.284496736, a3=1.421413741, a4=–1.453152027, a5=1.061405429 A fenti megközelítő megoldások x≥0 esetén érvényesek. Negatív x esetén, ki kell használni azt a tényt, hogy erf(x) egy páratlan függvény, s így erf(x)=–erf(–x).

Egy másik megközelítés:

\operatorname{erf}(x)\approx \sgn(x) \sqrt{1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)}

ahol

a = \frac{8(\pi-3)}{3\pi(4-\pi)} \approx 0.140012.

Ez a megközelítés igen nagy pontosságot ad a 0, és a végtelen szomszédságában, és a hiba kisebb, mint 0.00035 minden x-re. A a ≈ 0.147 értéket használva a maximális hiba lecsökken közel 0.00012-re.[4] A megközelítést invertálni is lehet az inverz hiba függvény kiszámítására:

\operatorname{erf}^{-1}(x)\approx \sgn(x) \sqrt{\sqrt{\left(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln(1-x^2)}{2}\right)^2 - \frac{\ln(1-x^2)}{a}}
-\left(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln(1-x^2)}{2}\right)}

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy mérési sorozat eredményeit a normális eloszlás szórásával (\scriptstyle\sigma) írjuk le, és a várható érték 0, akkor  \scriptstyle\operatorname{erf}\,\left(\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\,\right) a valószínűsége, hogy egy egyszeri mérés –a and +a közé esik pozitív a esetén. Ez hasznos, például, egy digitális kommunikációs rendszer bithibaarányának megállapításánál. A hibafüggvény és a komplementer hibafüggvény, például, a hő egyenlet megoldásánál fordul elő, amikor a határérték probléma a Heaviside-függvény által adott.

Kapcsolódó függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hibafüggvény lényegében azonos a standard normális kumulatív eloszlás függvénnyel (Φ), melyet programozási nyelvekben norm(x)-nek neveznek, és csak skálázásban, és fordításban különbözik. \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\frac{-t^2}{2} dt = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] = \frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) vagy erf-, és erfc-re átrendezve:

\begin{align}
\operatorname{erf}(x) &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
\operatorname{erfc}(x) &= 2 \Phi \left ( - x \sqrt{2} \right ).
\end{align}

Következésképpen, a hibafüggvény szorosan kapcsolódik a Q-függvényhez, mely a normális eloszlás farok-eloszlása. A Q-függvény kifejezhető a hibafüggvény kifejezéseivel is:


Q(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).

A Φ inverze úgy is ismert, mint a normális kvantilis függvény, vagy a probit-függvény, és kifejezhető az inverz hibafüggvénnyel:


\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).

A standard normális cdf-et gyakran használják valószínűségszámításban és statisztikaban, és a hibafüggvényt a matematika számos más ágában is alkalmazzák. A hibafüggvény a Mittag–Leffler függvény speciális esete, és kifejezhető, mint a Kummer-függvény:

\mathrm{erf}(x)=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\tfrac12,\tfrac32,-x^2\right).

Általánosított hibafüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Általánosított hibafüggvény

Az általánosított hibafüggvény En(x):
szürke görbe: E1(x) = (1 – e –x)/\scriptstyle\sqrt{\pi}
piros görbe: E2(x) = erf(x)
zöld görbe: E3(x)
kék görbe: E4(x)
sárga görbe: E5(x). Some authors discuss the more general functions:[forrás?]

E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

Az általánosított függvényt egyenértékű módon fejezi ki x > 0 esetekre a gamma-függvény, és az inkomplett gamma-függvény.

E_n(x) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0.\

Így a hibafüggvény meghatározható az inkomplett gamma-függvény kifejezéseivel.

Komplementer hibafüggvény iterált integráljai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplementer hibafüggvény iterált integráljai:


\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \int_z^\infty \mathrm i^{n-1} \operatorname{erfc}\, (\zeta)\;\mathrm d \zeta.\,

hatvány sorral:


\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z)
=
\sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j! \Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,

melyből a szimmetrikus tulajdonságok következnek:


\mathrm i^{2m} \operatorname{erfc} (-z)
= - \mathrm i^{2m} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)! (m-q)!}

és


\mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc} (-z)
= \mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Implementációk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hibafüggvény megtalálható a következő programozási nyelvekben

  • C
  • C99
  • C++: C++11
  • Fortran 2008
  • Python
  • Mathematica
  • Haskell
  • R
  • Matlab
  • Ruby
  • A Google kereső kalkulátorként működhet és kiszámolja a "erf(...)" és "erfc(...)" értékeket.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Andrews Special functions of mathematics for engineers
  2. ^ a b Greene, William H., Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. B. Van Zeghbroeck, Principles of Semiconductor Devices, University of Colorado, 2011. [1]
  4. Winitzki, Sergei: A handy approximation for the error function and its inverse (PDF), 2008. február 6. (Hozzáférés: 2011. október 3.)

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Cuyt, A.A.M.; Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, W.B: Handbook of Continued Fractions for Special Functions. (hely nélkül): Springer-Verlag. 2008. ISBN 9781402069482  
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 7", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 9781402069482  
  • Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP: "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function". (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 9781402069482  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]