Gauss-összeg

A Gauss-összeg számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha $p$ páratlan prímszám, $\omega=\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{p}\right)$ az „első” p-edik egységgyök, akkor a

$G= \sum^{p-1}_{k=0} \omega^{k^2}$

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy $G$ értéke $\sqrt{p}$ vagy $-\sqrt{p}$ ha $p$ 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és $i\sqrt{p}$ vagy $-i\sqrt{p}$ ha $p$ 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig $\sqrt{p}$illetve $i\sqrt{p}$. Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész $N$ számra, ha

$\omega=\cos\left(\frac{2\pi}{N}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{N}\right)$

akkor

$\sum^{N}_{k=1}\omega^{k^2}= \begin{cases} \sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 1 \pmod{4}\\ 0 & \mbox{ha }N\equiv 2 \pmod{4}\\ i\sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 3 \pmod{4}\\ (1+i)\sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 0 \pmod{4} \end{cases}$

Gauss vizsgálta a

$G_3=\sum^{p}_{k=1}\omega^{k^3}$

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha $p\equiv 1\pmod{3}$, akkor $4p=A^2+27B^2$ alakban írható, és ha kikötjük, hogy $A\equiv 1 \pmod{3}$ legyen, akkor $G_3$ gyöke az irreducibilis $x^3-3px-Ap$ polinomnak.