Görbeillesztés (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A görbeillesztés feladata olyan y = f(x)\quad függvény meghatározása, ami egy (x_0;y_0), (x_1;y_1), (x_2;y_2), \dots ,(x_n;y_n), adatsor analitikus közelítése.

A függvény grafikonjaként adódó görbére nem feltétlenül illeszkednek a P_i=(x_i;y_i) koordinátájú pontok, ilyenkor azt mondjuk, hogy a görbe többé vagy kevésbé jól közelíti a pontsort. Az illeszkedési kritérium különböző lehet csakúgy, mint a görbe, azaz a függvény (függvények) típusa.

A feladat egy általánosítása, amikor a síkon ábrázolható ponthalmazhoz keresünk F(x,y)=0 implicit egyenlettel megadható görbét. Másik általánosítás a P_i=(x_i;y_i;z_i),i=1..n adatsort közelítő felület meghatározása. Rokon probléma az adott görbék, görbeívek egyszerűbb görbékkel való helyettesítése.

Alkalmazási területek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy természeti, gazdasági, társadalmi stb. folyamat lefolyását modellező matematikai formula kísérleti meghatározásához méréseket kell végezni. A mérések adatai egyrészt hibákkal terheltek (szóródás), másrészt bizonyos tartományok kimaradhatnak az adatgyűjtésből. Az adatsor P_i=(x_i;y_i) számpárjait derékszögű, illetve a problémának jobban megfelelő affin vagy poláris koordináta-rendszerben ábrázolva egy görbe pontjaira emlékeztető pontsort vagy egy pontfelhőt kapunk.

EmpirMod.gif

Empirikus formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbeillesztés egyik célja, hogy a meghatározott y = f(x) függvény (és esetleg az inverz x = f^{-1}(y)) függvény (formula) ismeretében a vizsgált folyamat összetartozó (x;y) értékpárjait kiszámíthassuk. A másik cél az lehet, hogy a kiválasztott függvény együtthatóit meghatározzuk (például a szabadesés s=at^2 egyenletében a=g/2 számértékére kapunk kísérleti becslést).

Illesztési típusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Interpoláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Interpolacio.gif

Olyan görbét kell keresni, ami minden adatponton áthalad. A „szabálytalan” pontsorhoz szinte sohasem illeszthető egyszerű egyenlettel leírható függvény/grafikon.

Lineáris interpoláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (x_{i-1} \dots x_i) intervallumokhoz y = a_ix + b_i egyenletű egyenes szakaszokat illesztünk. Ezek egyenként helyettesítik a folyamatot leíró grafikon íveit. A formulák a két ponton átmenő egyenes egyenletével kaphatók:

(y-y_{i-1})(x_i-x_{i-1})=(x-x_{i-1})(y_i-y_{i-1})

Parabolikus interpoláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több, (m+1) egymáshoz csatlakozó intervallum feletti görbeívet egy polinom grafikonjával helyettesítjük. A megfelelő együtthatók meghatározásához két formula ismert:

Lagrange-féle interpolációs formula:
y = y_0\cdot L_0+ y_1 \cdot L_1+ \dots y_m \cdot L_m\,
ahol az L_{i} függvények a Lagrange-féle interpolációs polinomok:
L_i =\frac{(x-x_0)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_m)}{ (x_i-x_0)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_m)}
Newton-féle interpolációs formula:
y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m)\,
ahol az A_i kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:
A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\dots

A formula és ezzel a számolás egyszerűbb, ha az (x_{i-1};x_i) intervallumok egyenlőek. Főleg tabellált függvényeknél (függvénytáblázatoknál) használják (használták) a táblázatban nem szereplő közbenső értékek számítására. A feladat gyakorlati fontosságát jelzi, hogy több neves matematikus adott meg erre interpolációs formulát: Newton, Bessel, Stirling.

Regresszió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mindkét modell esetében alkalmazható eljárás az, ha lemondunk az empirikus y=f(x) formulával adódó függvénygörbe és a mérési adatokat reprezentáló pontok illeszkedéséről, csupán azt követeljük meg, hogy az x_0; x_1;\dots x_n mérési helyeken a mért y_i és a számított \hat{y}_i=f(x_i) értékek eltérése minimális legyen. Az eltérés mértékét többféleképpen írhatjuk elő:

1 - Az abszolut hibák összege \sum_{i=0}^n \mid y_i -\hat{y}_i\mid\quad legyen minimális.
2 - A hibák négyzetének összege \sum_{i=0}^n (y_i -\hat{y}_i)^2\quad legyen minimális.

Az első feltételnek eleget tevő \hat{y}=f(x) egyenletes közelítés meghatározására nincsenek általános módszerek. A négyzetes hibákat minimáló közelítés meghatározására a Gauss nevéhez kötött, a legkisebb négyzetek módszere nevű algoritmust használják.

Lineáris regresszió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

LinReg.gif

A matematikai statisztika leggyakrabban alkalmazott modellje. Több típusát a legtöbb táblázatkezelő és matematikai szoftver megvalósítja (Excel, Maple V, Matlab stb):

1- Egyszerű kétváltozós regresszió az \hat{y}= A_0+x\cdot A_1\quad elsőfokú függvény együtthatóinak meghatározására szolgál.
2- Inverz regresszió az \hat{x}= B_0+y\cdot B_1\quad inverz relációval illesztett összefüggés a \sum_{i=0}^n (x_i -\hat{x}_i)^2 négyzetes hibaösszeget minimálja.
3- Többváltozós lineáris regresszó az összetartozó mérési adatokhoz az összefüggésüket leíró \hat{y}= A_0+x_1\cdot A_1+x_2\cdot A_2\dots +x_k\cdot A_k\quad elsőfokú függvényt határozza meg.

Linearizáló módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mérési adatokat ábrázoló pontdiagramról látható, hogy egyenes helyett inkább valamilyen, a vizsgált jelenség tulajdonságaiból is következtethető görbe illik a modellhez. A legkisebb négyzetek módszere ekkor is alkalmazható, de a számolás ilyenkor a formula jellegéből fakadóan nehézkesebb. A linearizáló módszer abból áll, hogy az eredeti x;y változók helyett, velük összefüggő, de egymással lineáris kapcsolatban lévő X;Y változókat vezetünk be.

Például az y=A\cdot e^{Bx}\quad empirikus formulából az X=x ; Y=\ln{y}\quad helyettesítésekkel az Y=\ln A +B\cdot X\quad lineáris kapcsolat adódik. Ennek a=\ln A ; b=B\quad együtthatóit meghatározva az eredeti formula konstansai adódnak:  A=e^{a}; B=b\quad.

Középértékek módszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A linearizáló módszer esetenként nem eléggé pontos. Javítható a becslés, ha az adathalmazt két vagy több részre osztjuk és mindre elvégezzük a számítást. Az egyes paraméterek számított értékeinek számtani (vagy súlyozott) közepét képezzük.

Spline (szplájn) approximáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az adatsort szakaszonként közelítő görbeívek érintője a csatlakozási pontokban közös. Az érintők-ben a nyelvtani többes azt jelenti, hogy a csatlakozó görbéknek az adott pontban közös lehet az elsőrendű (egyenes), a másodrendű (simulókör) stb. érintője. Minél magasabb rendben érintkeznek, annál simább a spline, annál tökéletesebb illesztés. A spline approximációt nem csak adatsorok közelítésére, hanem komplikált, nehezen kezelhető egyenletű görbék helyettesítésére használják. (L.: Kosárgörbe, klotoid, átmeneti ív.) A számítógépes grafikában a szabálytalan vonalakat Bèzier-spline-ok alkalmazásával digitalizálják. (Az alábbi példában a lineáris spline-t (kék vonal) az adatokhoz (piros pontok) illesztjük.)

Linearspline.png

További elérhető illusztrációk:

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bartsch, Hans-Jochen: Matematische formeln (Veb Fachbuchverlag, Leipzig, 1967) (németül)
  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv (Műszaki, 1987) ISBN 963 1053091
  • Hack F. & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok etc. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
  • Reinhardt – Soeder: SH Atlasz – Matematika (Springer-Verlag, 1993)

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]