Görbeillesztés (matematika)

A görbeillesztés feladata olyan $y = f(x)\quad$ függvény meghatározása, ami egy $(x_0;y_0), (x_1;y_1), (x_2;y_2), \dots ,(x_n;y_n),$ adatsor analitikus közelítése.

A függvény grafikonjaként adódó görbére nem feltétlenül illeszkednek a $P_i=(x_i;y_i)$ koordinátájú pontok, ilyenkor azt mondjuk, hogy a görbe többé vagy kevésbé jól közelíti a pontsort. Az illeszkedési kritérium különböző lehet csakúgy, mint a görbe, azaz a függvény (függvények) típusa.

A feladat egy általánosítása, amikor a síkon ábrázolható ponthalmazhoz keresünk $F(x,y)=0$ implicit egyenlettel megadható görbét. Másik általánosítás a $P_i=(x_i;y_i;z_i),i=1..n$ adatsort közelítő felület meghatározása. Rokon probléma az adott görbék, görbeívek egyszerűbb görbékkel való helyettesítése.

Alkalmazási területek

Egy természeti, gazdasági, társadalmi stb. folyamat lefolyását modellező matematikai formula kísérleti meghatározásához méréseket kell végezni. A mérések adatai egyrészt hibákkal terheltek (szóródás), másrészt bizonyos tartományok kimaradhatnak az adatgyűjtésből. Az adatsor $P_i=(x_i;y_i$) számpárjait derékszögű, illetve a problémának jobban megfelelő affin vagy poláris koordináta-rendszerben ábrázolva egy görbe pontjaira emlékeztető pontsort vagy egy pontfelhőt kapunk.

Empirikus formulák

A görbeillesztés egyik célja, hogy a meghatározott $y = f(x)$ függvény (és esetleg az inverz $x = f^{-1}(y))$ függvény (formula) ismeretében a vizsgált folyamat összetartozó $(x;y)$ értékpárjait kiszámíthassuk. A másik cél az lehet, hogy a kiválasztott függvény együtthatóit meghatározzuk (például a szabadesés $s=at^2$ egyenletében $a=g/2$ számértékére kapunk kísérleti becslést).

Illesztési típusok

Interpoláció

Olyan görbét kell keresni, ami minden adatponton áthalad. A "szabálytalan" pontsorhoz szinte sohasem illeszthető egyszerű egyenlettel leírható függvény/grafikon.

Lineáris interpoláció

Az $(x_{i-1} \dots x_i)$ intervallumokhoz $y = a_ix + b_i$ egyenletű egyenes szakaszokat illesztünk. Ezek egyenként helyettesítik a folyamatot leíró grafikon íveit. A formulák a két ponton átmenő egyenes egyenletével kaphatók:

$(y-y_{i-1})(x_i-x_{i-1})=(x-x_{i-1})(y_i-y_{i-1})$

Parabolikus interpoláció

Több, $(m+1)$ egymáshoz csatlakozó intervallum feletti görbeívet egy polinom grafikonjával helyettesítjük. A megfelelő együtthatók meghatározásához két formula ismert:

Lagrange-féle interpolációs formula:

$y = y_0\cdot L_0+ y_1 \cdot L_1+ \dots y_m \cdot L_m\,$

ahol az $L_{i}$ függvények a Lagrange-féle interpolációs polinomok:

$L_i =\frac{(x-x_0)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_m)}{ (x_i-x_0)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_m)}$

Newton-féle interpolációs formula:

$y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m)\,$

ahol az $A_i$ kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:

$A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\dots$

A formula és ezzel a számolás egyszerűbb, ha az $(x_{i-1};x_i)$ intervallumok egyenlőek. Főleg tabellált függvényeknél (függvénytáblázatoknál) használják (használták) a táblázatban nem szereplő közbenső értékek számítására. A feladat gyakorlati fontosságát jelzi, hogy több neves matematikus adott meg erre interpolációs formulát: Newton, Bessel, Stirling.

Regresszió

Mindkét modell esetében alkalmazható eljárás az, ha lemondunk az empirikus $y=f(x)$ formulával adódó függvénygörbe és a mérési adatokat reprezentáló pontok illeszkedéséről, csupán azt követeljük meg, hogy az $x_0; x_1;\dots x_n$ mérési helyeken a mért $y_i$ és a számított $\hat{y}_i=f(x_i)$ értékek eltérése minimális legyen. Az eltérés mértékét többféleképpen írhatjuk elő:

1 - Az abszolut hibák összege $\sum_{i=0}^n \mid y_i -\hat{y}_i\mid\quad$ legyen minimális.

2 - A hibák négyzetének összege $\sum_{i=0}^n (y_i -\hat{y}_i)^2\quad$ legyen minimális.

Az első feltételnek eleget tevő $\hat{y}=f(x)$ egyenletes közelítés meghatározására nincsenek általános módszerek. A négyzetes hibákat minimáló közelítés meghatározására a Gauss nevéhez kötött, a legkisebb négyzetek módszere nevű algoritmust használják.

Lineáris regresszió

A matematikai statisztika leggyakrabban alkalmazott modellje. Több típusát a legtöbb táblázatkezelő és matematikai szoftver megvalósítja (Excel, Maple V, Matlab stb):

1- Egyszerű kétváltozós regresszió az $\hat{y}= A_0+x\cdot A_1\quad$ elsőfokú függvény együtthatóinak meghatározására szolgál.

2- Inverz regresszió az $\hat{x}= B_0+y\cdot B_1\quad$ inverz relációval illesztett összefüggés a $\sum_{i=0}^n (x_i -\hat{x}_i)^2$ négyzetes hibaösszeget minimálja.

3- Többváltozós lineáris regresszó az összetartozó mérési adatokhoz az összefüggésüket leíró $\hat{y}= A_0+x_1\cdot A_1+x_2\cdot A_2\dots +x_k\cdot A_k\quad$ elsőfokú függvényt határozza meg.

Linearizáló módszer

A mérési adatokat ábrázoló pontdiagramról látható, hogy egyenes helyett inkább valamilyen, a vizsgált jelenség tulajdonságaiból is következtethető görbe illik a modellhez. A legkisebb négyzetek módszere ekkor is alkalmazható, de a számolás ilyenkor a formula jellegéből fakadóan nehézkesebb. A linearizáló módszer abból áll, hogy az eredeti $x;y$ változók helyett, velük összefüggő, de egymással lineáris kapcsolatban lévő $X;Y$ változókat vezetünk be.

Például az $y=A\cdot e^{Bx}\quad$ empirikus formulából az $X=x ; Y=\ln{y}\quad$ helyettesítésekkel az $Y=\ln A +B\cdot X\quad$ lineáris kapcsolat adódik. Ennek $a=\ln A ; b=B\quad$ együtthatóit meghatározva az eredeti formula konstansai adódnak: $A=e^{a}; B=b\quad$.

Középértékek módszere

A linearizáló módszer esetenként nem eléggé pontos. Javítható a becslés, ha az adathalmazt két vagy több részre osztjuk és mindre elvégezzük a számítást. Az egyes paraméterek számított értékeinek számtani (vagy súlyozott) közepét képezzük.

Spline (szplájn) approximáció

Az adatsort szakaszonként közelítő görbeívek érintője a csatlakozási pontokban közös. Az érintők-ben a nyelvtani többes azt jelenti, hogy a csatlakozó görbéknek az adott pontban közös lehet az elsőrendű (egyenes), a másodrendű (simulókör) stb. érintője. Minél magasabb rendben érintkeznek, annál simább a spline, annál tökéletesebb illesztés. A spline approximációt nem csak adatsorok közelítésére, hanem komplikált, nehezen kezelhető egyenletű görbék helyettesítésére használják. (L.: Kosárgörbe, klotoid, átmeneti ív.) A számítógépes grafikában a szabálytalan vonalakat Bèzier-spline-ok alkalmazásával digitalizálják. (Az alábbi példában a lineáris spline-t (kék vonal) az adatokhoz (piros pontok) illesztjük.)

További elérhető illusztrációk:

• Harmadfokú spline approximáció JSXGraph médián
• Előadások a spline interpolációról
• Harmadfokú spline interpoláció, előadási jegyzet -PDF.

Irodalom

Bartsch, Hans-Jochen: Matematische formeln, Veb Fachbuchverlag, Leipzig, 1967.

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Hack F. & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok etc. ,Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004 ISBN 978-963-19-5703-7

Reinhardt – Soeder: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993

További információk

• Letölthető interaktív Flash szimuláció a görbeillesztésről – polinommal illusztrálva, magyarul. Elérés: magyarázó lapon át vagy közvetlenül a PhET-től.