Fréchet-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számításban és a statisztikában a Fréchet eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete.[1]

Ezt az eloszlást Maurice Fréchet-ről nevezték el, aki 1827-ben publikálta, ehhez kapcsolódó további munkásságot Fisher és Tippett végzett 1928-ban és Gumbel 1958-ban.[2]

A kumulatív eloszlásfüggvény:

\Pr(X \le x)=e^{-x^{-\alpha}} \text{ if } x>0.

ahol α>0 az alakparaméter. Úgy is általánosítható, hogy tartalmazza a helyparamétert (m, minimum) és a skálaparamétert (s>0) a kumulatív eloszlás függvényben:

\Pr(X \le x)=e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} \text{ if } x>m.

Karakterisztika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fréchet-eloszlás, Valószínűség sűrűség függvény
Fréchet-eloszlás, Kumulatív eloszlás függvény

A standardizált momentum \alpha paraméterel

\mu_k=\int_0^\infty x^k f(x)dx=\int_0^\infty t^{-\frac{k}{\alpha}}e^{-t}dt,

(ahol t=x^{-\alpha}) kizárólag k<\alpha esetre

\mu_k=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)

ahol \Gamma\left(z\right) is the Gamma-függvény.

q_y kvantilis y függvényében az eloszlás inverzeként fejezhető ki:

q_y=F^{-1}(y)=\left(-\log_e y \right)^{-\frac{1}{\alpha}}.

A medián:

q_{1/2}=(\log_e 2)^{-\frac{1}{\alpha}}.

Az eloszlás módusza:

\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}.

A 3 paraméteres Fréchetre, az első kvartilis:

q_1= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(4)}} A harmadik kvartilis:

q_3= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(\frac{4}{3})}}

A kvantilisek a középértékre és a móduszra:

F(mean)=\exp  \left( -\Gamma^{-\alpha} \left(1- \frac{1}{\alpha} \right)  \right)
F(mode)=\exp  \left( -\frac{\alpha+1}{\alpha}  \right)
Fréchet eloszlás alkalmazása egynapi maximális csapadékra

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hidrológiában a Fréchet-eloszlást extrém események becslésére használják, mint például az évente egynapi maximális csapadék, vagy folyók áradása. A kék színű kép egy Fréchet eloszlású alkalmazást mutat be az Ománban esedékes maximális egynapi esőzésre, 90% konfidencia-intervallum mellett, a binomiális eloszlásra alapozva. Az esőzés adatai kumulatív frekvenciáit pontok poziciói reprezentálják, melyek részei a kumulatívfrekvencia-analízisnek. Azonban a legtöbb hidrológiai alkalmazásban, az eloszlás az általánosított extrémérték-eloszláson keresztül működik, mivel ez elkerüli azt a feltételezést, hogy az eloszlásnak nincs felső határa (mint ahogy az a Fréchet-eloszlásban érvényes lenne az éves maximumra)

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A Frechet eloszlás egy maximum stabil posztulátumnak felel meg
  • Egy Frechet eloszlású negatív valószínűségi változó a minimum stabil posztulátumnak felel meg.[3]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]