Forszolás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A forszolás (forcing) mint a relatív konzisztencia bizonyításokra alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuumhipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége.

A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben.[1]

A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolás számos esetben került alkalmazásra, sőt, (bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) gyakorlatilag meghatározó szerepe lett a modellmódszeres relatív konzisztencia bizonyítások körében.

A forszolás előzményei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Cantor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Georg Cantor 1870-es évekbeli munkásságához szokás kötni a halmazelmélet megszületését. Egy 1873-as cikkében leírja, hogy a pozitív egészek és a racionális számok párba állíthatóak, azaz van közöttük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, mai szóhasználattal: a racionális számok halmaza megszámlálható.

1874-es eredménye, hogy a valós számok (melyeknek egy lehetséges definícióját is ő adta meg korábban) többen vannak: bárhogy is próbálnánk őket a pozitív egészekkel megfeleltetni, mindig maradna ki valós szám (ehhez a bizonyításhoz használta először az ún. átlós módszert, mely azonkívül, hogy a matematika szinte minden ágában van alkalmazása, a matematikai bizonyítások egyik legszebbike).

Magát a végtelen halmaz fogalmát is ő definiálta először: olyan halmaz, mely párba állítható egy valódi részhalmazával, tehát olyan részével, mely nem tartalmazza minden elemét. (A pozitív egészek esetében, ha minden ilyet kettővel beszorzunk, akkor a páros számokkal állítjuk őket párba, s valóban: van páratlan szám, tehát olyan, ami ilyenkor kimarad.)

Cantor híres, általa meg nem oldott problémája, a kontinuum-hipotézis. Cantor átlós módszere mutatja, hogy egy halmaz hatványhalmaza (részhalmazainak halmaza) mindig nagyobb az eredetinél, azaz nem lehet őket párba állítani. A kérdés az, vajon van-e olyan halmaz, amelyik nagyobb a természetes számoknál, de kisebb a hatványhalmazánál (amiket könnyen megfeleltethetünk a valós számoknak, amelyek segítségével „folytonosan” lerajzolhatjuk a számegyenest, innen a kontinuum elnevezés).

Gödel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kurt Gödelnek több olyan eredményt sikerült bizonyítania, amelyekkel külön-külön is beírta volna magát a matematika történetébe.

Teljességi tételében azt bizonyítja, hogy bizonyos speciális esetben, egy elméletből (állítások egy halmazából) levezethető formulák megegyeznek az elmélet következményeivel, azaz ami igaz, azt be is lehet bizonyítani.

1931-es, illetve 38-as eredményei, a nemteljességi tételek azonban pont azt fogalmazzák meg, hogy a teljességi tételben leírtak jelentik a ritka kivételt, azaz ha egy elmélet nem túl „egyszerű” (például már a pozitív egészek összeadására és szorzására vonatkozó alapformulák is ilyenek), akkor mindig lesz olyan következménye, ami nem bizonyítható be az elméletből. Ilyen állítás lesz például, hogy maga az elmélet konzisztens, azaz van halmazmodellje. Van tehát olyan állítás, ami hiába igaz, mégsem lehet bebizonyítani, sőt, arról sem lehetünk meggyőződve, hogy az elméletünk nem vezet ellentmondásra. Ha ugyanis van ellentmondás azt előbb-utóbb megtalálja valaki, ha viszont nincs, azt nem lehet bebizonyítani.

Relatív konzisztencia bizonyítása modellmódszerrel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gödel munkássága nyomán ismeretes, hogy egy elmélet elletmondástalansága azt jelenteni, hogy van az elméletnek halmazmodellje. Ilyen létezését azonban nem tudjuk garantálni a második nemteljességi tétel miatt. Ha azonban feltesszük egy modell létezését, abból definiálhatunk egy másikat, így mutatva meg, hogy ha az egyik elmélet ellentmondástalan, akkor a másik is az kell, hogy legyen. Gödel a Zermelo-Fraenkel axiómarendszert teljesítő modellből kiindulva definiálta az ún. konstruálható halmazok L-lel jelölt modelljét, amelyben a következő dolgok teljesülnek: egyrészt itt igaz Cantor kontinuum-hipotézise, sőt, minden végtelen halmazra igaz, hogy nincs olyan halmaz, ami nála nagyobb, de a hatványhalmazánál kisebb. Másrészt teljesül az ún. kiválasztási axióma. Az első állítás érthetően nagy előrelépésnek számított; a halmazelmélet egyik alapkérdését ha nem is sikerült belátni, de legalább az kiderült, hogy ha nincs ellentmondás az elfogadott axiómarendszerben, akkor úgy sincs, ha a sejtést felvesszük az axiómáink közé, azaz azt sikerült bebizonyítani, hogy az ellenkezőjét nem lehet bizonyítani.

Gödel tétele és Cohen forszolási módszerének megszületése között eltelt 30 év, de a matematikusok előtt csak „néhány” modell volt ismeretes, s azok is jórészt Gödelnek köszönhetően. Így a modellmódszeres (relatív) konzisztencia bizonyítások csak ezek tanulmányozására szorítkozhattak. A forszolással azonban új perspektívák nyíltak meg: egy modellből kiindulva modellek sokaságát lehet gyártani, s ami még fontosabb, olyan módon, hogy közben befolyásolható, hogy mi legyen igaz az új modellben és mi ne.

A forszolás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A forszolás alapszituációjában a szokásos ZFC halmazelmélet egy M megszámlálható tranzitív modelljét tekintjük. Ehhez (feltéve valamilyen halmazmodell létezését) a megszámlálhatóságot a leszálló Löwenheim–Skolem-tétel adja, a tranzitivitást pedig a tükrözési elv biztosítja azzal a „megfigyeléssel” együtt, hogy egy levezetésben csak véges sok axiómát használunk fel. Forszoláskor tehát egy ilyen M megszámlálható tranzitiv modellt tekintünk alapmodellnek, amelyről a Mostowski-suvasztási lemma miatt feltehető, hogy rajta a reláció a valódi tartalmazás (ezt részletesebben ld. Komjáth Péter jegyzetében).

\scriptstyle{M}-ben egy \scriptstyle{P} parciálisan rendezett halmazt kényszerképzetnek nevezünk, ha van legnagyobb eleme, de nincs minimális eleme. P-ben p és q kompatibilis, ha van közös kiterjesztésük (mindkettőnél \scriptstyle \le elem), inkompatibilis, ha nincs. \scriptstyle P \supset D sűrű, ha minden \scriptstyle x \in P-hez van \scriptstyle y \in D: y ≤ x. Egy \scriptstyle P \supset G halmazt M – P generikusnak nevezünk, ha filter (azaz metszetzárt: \scriptstyle p, q \in G \Rightarrow \exists r \in G: r \le p, q; és felszálló: \scriptstyle p \in G, p ≤ q \scriptstyle \Rightarrow q \in  G) és P-nek minden M-beli sűrű részhalmazát metszi. Itt az M-beli kitétel nagyon fontos; általában ugyanis nem létezik generikus filter, de mivel M-ről feltettük, hogy megszámlálható, így sűrű részhalmazai is csak megszámlálható sokan vannak, ezért az átlós eljárással tudunk készíteni egy M – P generikus halmazt. Ez a generikus halmaz ugyan nem M-beli, de a forszoláskor éppen ezzel bővítjük M-et.

Generikus filterre egy szemléletes példa az Add(ω,1) - gyel jelölt kényszerképzet, aminek elemei az f: ω → {0,1} parciális függvények, melyekre dom(f) véges, és p ≤ q, ha p, mint függvény kiterjeszti q-t. A G generikus filter uniója egy függvény lesz, mivel G-ben minden elem kompatibilis, ami azt jelenti, hogy ha \scriptstyle p, q \in G értelmezve van egy n rendszámon, akkor ott az értékük meg kell hogy egyezzen. Ráadásul az unió az egész ω-n értelmezve van, mivel azok az elemek, amelyek egy konkrét n-re értelmezve vannak, sűrű halmazt alkotnak (hiszen ha p-nek már van értéke n-en, akkor saját maga jó nála ≤ elemnek, ha pedig nincs, akkor vegyük azt a parciális függvényt, ami megegyezik p-vel, csak még n-en mondjuk az 1-et veszi fel. Ez nyilván kisebb p-nél, ráadásul M-ben van, hiszen definiáltuk p-ből és n-ből, amik M-beliek). G elmetsz minden sűrű halmazt, tehát tartalmaz olyan p-t, ami értelmezett n-en. Ezenfelül G uniója muszáj, hogy új halmaz legyen, azaz olyan, ami nincs benne M-ben, hiszen tetszőleges M-beli végtelen 0-1 sorozatra sűrű azon elemek halmaza, amelyek valahol eltérnek az adott végtelen sorozattól. Ez azért van így, mert minden p értelmezési tartománya véges, tehát ha itt még meg is egyezne az adott sorozattal, egy olyan elemen, ahol még nincs értelmezve terjesszük ki úgy, hogy vegye fel pont a másik értéket. Mivel ezt az elemet p-ből és az M-beli végtelen sorozatból definiáltuk, így a kapott parciális függvény is M-beli lesz (és kisebb, mint p). G tehát elmetszi ezt a sűrű halmazt is, így G nem lehet a konkrét M-beli sorozat.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Jech

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]