Szferoid

Lencseszferoid

Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

$\frac{X^2+Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1.\,\!$

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata

Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

$V = \frac{4\pi}{3} a b^2,$

és a lencseszferoidé

$V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.$

Felszíne

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

$A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)$,

és a lencseszferoidé

$A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)$.

Gyakorlati jelentősége

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében ez a geoid.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a második világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése

Legyen ${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0$ az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid

Az első Guldin-szabállyal

$A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x$

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete $f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}$, ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

$\int\sqrt{q-p x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2} \sqrt{q-p x^2}+\frac{q }{2 \sqrt{p}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}x\right).$

Behelyettesítve

$A = 2\pi\int_{-a}^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^2 \left(a^2-x^2\right)}}\mathrm{d}x= \frac{4\pi b}{a^2} \int_0^a \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right) x^2}\mathrm{d}x.$

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

$A = \frac{4\pi b }{a^2}\left(\frac{a}{2} \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right)a^2}+\frac{ a^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^4}}a\right) \right),$

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

$A = 2\pi\int_{\min(f(x_l),f(x_r))}^{\max(f(x_l),f(x_r))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y$

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

$f^{-1}(y)=\frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2}$

és behelyettesítve az $f(0) = b$ és $f(a) = 0$ értékeket kapjuk a következőt:

$A = 4\pi\int_{0}^b \frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2} \sqrt{1+\frac{a^2 y^2}{b^2 \left(b^2-x^2\right)}}\mathrm{d}y= \frac{4\pi a}{b^2} \int_0^b \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right) y^2}\mathrm{d}y.$

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

$A = \frac{4\pi a }{b^2}\left(\frac{b}{2} \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right)b^2}+\frac{ b^4}{2\sqrt{a^2-b^2}} \operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{b^4}}b\right) \right).$

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Lásd még

• Ellipszoid
• Geodéziai dátum
• Geoid
• Geoidunduláció