Fejszámolási módszerek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A fejszámolás szó szerint értendő fogalom, jelentése fejben számolni. Az alábbi cikkben különböző hasznos és érdekes trükkök találhatók, melyek által nem csak leegyszerűsíthetjük a fejben való számításainkat, hanem biztos tudásra is szert tehetünk vele. Hogyan kell két-háromjegyű számokat fejben négyzetre, köbre emelni? Háromjegyű számokat összeszorozni, osztani és gyököt vonni belőlük? Sokakban felmerül a kérdés:

Én is képes vagyok rá?

Mindenki képes rá, hiszen a fejszámolás nem veleszületett képesség. Mindenki képes határok nélkül fejleszteni a memóriáját, logikáját és matematikai készségét. Egy idő után a sok gyakorlás miatt az ember képes rá érezni egyre gyorsabban a matematikai műveletek könnyebb útjára, így egyre gyorsabban jut majd el majd a végeredményhez is.

A fejszámolás titkainak értékéből nem von le az, ha tudják, hogyan működik. Mikor a számtan megy, akkor nem akadunk el magával a számolással, és a számok csodálatos természetére. A fejszámolás elsajátításával a racionális számok olyan gyorsan eszedbe jutnak majd, hogy a fejedben kicsit több hely marad azon gondolkodni, miért működik így a világ, és rájössz arra, hogy a természetben mindennek megvan a végeredménye'” – Bill Nye

Szorzás 11-gyel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kétjegyű számok szorzása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Könnyen észrevehető egy érdekes szabályosság kétjegyű számok és 11 szorzása esetén. Főleg, ha nincs benne 10-es átlépés. Nézzük meg egy példán, miről is van szó:

35\cdot 11=3\underline{8}5

A szabály, hogy adjuk össze a szám számjegyeit, és írjuk be a két szám közé.

54\cdot 11=5\underline{9}4

Az eredmény 594, mert

5+4=9 \,

A következő, a tízes átlépés. Mi történik a következő szorzásnál?

49\cdot 11

Ugyanúgy összeadjuk a számjegyeket.

4+9=13 \,

Mivel tízes átlépés történt, az 1-et hozzáadjuk a szám első jegyéhez, és a 3-ast pedig beírjuk a két szám közé, ahogy eddig csináltuk. Tehát a szorzás így néz ki:

49\cdot 11=\underline{53}9
4+9=\nearrow 13

Háromjegyű számok szorzása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha háromjegyű számot szorzunk 11-gyel, össze kell adni az első és a középső számjegyet, a középső és az utolsó számjegyet, majd be kell írni őket az első és az utolsó számjegy közé. Például:

214\cdot 11=2\underline{35}4

Ha tízes átlépés történik:

987\cdot 11

Ugyanúgy összeadjuk a számjegyeket, mint az előző példában.

9+8=17 \, és 8+7=15 \,

Először 1-et hozzáadunk a 9-hez az első tízes átlépés miatt és leírjuk mellé a 7-est. Ezután nézzük a 15-öt. Mivel itt is tízes átlépés van, 1-et hozzá kell adnunk az előző számjegyhez, a 7-hez, utána pedig leírhatjuk az 5-öst, majd végére a 7-est.

987\cdot 11=10\underline{85}7
987\rightarrow 9\underline{1715}7\rightarrow\underline{107}157\rightarrow 10857

Természetesen a módszer többjegyű számokra is működik.


472634\cdot 11=5198974


\rightarrow4\quad\underline{11\ 9\ 8\ 9\ 7}\quad 4
\rightarrow5\quad\underline{1\ 9\ 8\ 9\ 7}\quad 4
\rightarrow 519897

A tétel bizonyítása azonossággal belátható:

\mbox{Ha}\ x, y \in\mathbb{N}\mbox{, akkor}

(10x+y)\cdot11=10\cdot10x+10\cdot(x+y)+y
110x+11y=110x+11y \,

Négyzetre emelés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

5-re végződő számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor egy szám 5-ösre végződik, akkor egy egyszerű szabály alapján rögtön kiszámolhatjuk a végeredményt. Vegyünk egy két jegyű számot:

85^2=85\cdot 85

Vegyük az első számjegyet, szorozzuk meg a nála 1-el nagyobb számmal, majd írjuk oda a végére a 25-öt.

85^2=8\cdot 9\cdot100+25=\underline{7225}

A 100-al való szorzás csak formailag szükséges, mert a 72 két helyiértékkel előrébb van mint a 25.

A tétel könnyen bizonyítható:

\mbox{Ha}\ x, y \in\mathbb{N}\mbox{, akkor}

(10x+5)^2=x\cdot(x+1)\cdot100+25
100x^2+100x+25=100x^2+100x+25 \,

Egy különleges eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor két olyan kétjegyű számot számokat szorzunk össze, melyeknek első számjegye megegyezik, második számjegyeik összege pedig 10. Ilyenkor az első számjegyet meg szorozzuk a nála 1-el nagyobb számmal, ezt leírjuk, majd a végére az egyes helyiértékeken állóm számjegyek szorzatát tesszük.

31\cdot39=3\cdot4\cdot100+9\cdot1=1209
74\cdot76=7\cdot8\cdot100+4\cdot6=5624

A tétel bizonyítása azonossággal belátható:

\mbox{Ha}\ x, y \in\mathbb{N}\mbox{, akkor}

(10x+y)\cdot(10x+(10-y))=x\cdot(x+1)\cdot100+y\cdot(10-y)
100x^2+100x-y^2+10y=100x^2+100x-y^2+10y \,
x\cdot(100x+100)-y\cdot(y-10)=x\cdot(100x+100)-y\cdot(y-10)

Négyzetre emelés általánosan[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyünk egy kétjegyű számot. Legyen ez a 67. A 67-et kerekítjük tízes helyiértékre, így lesz belőle 70. Mivel 3-mal tértünk el, ezért a 67-ből levonjuk a 3-at. Így kaptunk két számot: A 70-et és a 64-et. Szorozzuk össze őket és adjuk hozzá az eredeti szám és a kerekített szám (abszolútértékének, ami nem számít négyzetre emelésnél) különbségének négyzetét.

67^2=67\cdot67=\underline{70}\cdot\underline{64}+(70-67)^2=70\cdot64+3^2=4480+3^2=4489

Mi áll az ajtó mögött?

Legyen egy tetszőleges szám a \in\mathbb{N}, és tudjuk a következő algebrai összefüggést;

x^2-y^2=(x+y)\cdot(x-y)\mbox{, ahol}\ x, y\in\mathbb{Q},

akkor a következő is igaz:

a^2=(a-d)\cdot(a+d)+d^2 \mbox{, ahol}\ a, d\in\mathbb{Q}

Így azonosságot kaptunk, tehát az állítás igaz.

Összeadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két jegyű számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három -és többjegyű számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kivonós módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kivonás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két jegyű számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három -és többjegyű számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplementerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyjegyű számok szorzása többjegyűvel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Többjegyű számok szorzása többjegyűvel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplementerek használata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Osztás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyökvonás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Érdekességek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mikorra esik január 1-je?[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A módszer szökőévekre nem működik! Nézzük meg az évszám utolsó két jegyét. Legyen az évszám 1933. Vegyük a 33 25%-ának az egészrészét. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy megfelezzük, lefele kerekítjük, majd még egyszer megfelezzük.

\frac{33}{2}=16,5\approx16
\frac{\frac{33}{2}}{2}\approx\frac{16}{2}=8
\left[\frac{33}{2}\right]=16


Adjuk hozzá az évszám utolsó két jegyéhez a kapott számot.

33+8=41 \,

Majd vonjuk le belőle a kapott számnak a legnagyobb többszörösét, ami még megvan benne.

41=x\cdot8
\left[x\right]=5

A keresett szám 5. A kapott számok mindig megfelelnek a hét napjainak sorszámával, tehát 1933 január 1-je péntekre esik.

Kamatos kamat, adójárulék, stb.[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fejszámolás története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fejszámoló művészek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalomjegyzék[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Arthur Benjamin&Michael Shermer: Fejszámolás, Partvonal Kiadó, 2006