Faktoriális számrendszer
A faktoriális számrendszer egy vegyes alapú számrendszer, amiben a jobbról számított i-edik jegy alapja i. Vagyis az utolsó jegy kettes, az utolsó előtti hármas, az az előtti négyes számrendszerben van, és így tovább. Ebben a számrendszerben az alapszám hatványainak szerepét a faktoriális számok töltik be; erről is kapta a számrendszer a nevét.
A faktoriális számrendszer univerzálisabb, mint a nem vegyes alapú számrendszerek, ugyanis minden egynél nagyobb egész szám alapja egy helyi érték erejéig. A definícióból adódóan a nagy számokhoz sok különböző jegy kell; minél nagyobb a szám, annál több új jelre van szükség. Tetszőlegesen nagy számok leírásához végtelen sok jel kell. Másrészt viszont minden szám leírható a 0-9 jegyekkel, ami kisebb 10!-nál, vagyis 3628800-nál.
Tartalomjegyzék |
Példák[szerkesztés]
A legnagyobb hat jeggyel felírható faktoriális alapú szám a 719:
5×5! + 4×4! + 3x3! + 2×2! + 1×1! + 0×0! = 6! − 1.
A 720 felírásához hét jegyre van szükség:
720 = 1000000!
A faktoriális számrendszerrel könnyen belátható ez az egyenlőség:
ugyanis az egész számok, mint egészek, csak egyféleképpen írhatók le. Emellett létezik egy másik felírásuk is, amiben a tizedesvessző után az összes természetes szám megjelenik számjegyként:
1=0,1234…
Nagy számok[szerkesztés]
A faktoriális számrendszerben külön gond a nagy számok ábrázolása, hiszen ha a jegyeket tízes számrendszerben írjuk, azok összefolynak. A betűjelölés a 36-os értékű jegyig használható; utána minden helyi értékhez ki kell tenni az ott érvényes alapot.
Kapcsolat a permutációkkal[szerkesztés]
Mivel legfeljebb n jeggyel a nullát is beszámítva n! természetes szám írható le, kézenfekvő a lexikografikusan rendezett permutációkat is faktoriális számrendszerbeli számokkal jelölni. Például n=3-ra:
| decimális | faktoriális | permutáció |
| 010 | 000! | (0,1,2) |
| 110 | 010! | (0,2,1) |
| 210 | 100! | (1,0,2) |
| 310 | 110! | (1,2,0) |
| 410 | 200! | (2,0,1) |
| 510 | 210! | (2,1,0) |
