Fürstenberg-topológia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Fürstenberg-topológia egy Hillél Fürstenberg által 1955-ben konstruált topológia az egész számok halmazán. A konstrukció gyakorlati jelentősége csekély; inkább azért említésre méltó, mert segítségével topológiai eszközökkel bizonyítható, hogy végtelen sok prímszám létezik. A prímszámok halmazának végtelensége már Eukleidész előtt is ismert volt, ő azonban kézenfekvő módon, algebrai-számelméleti eszközökkel bizonyította az állítást. Jóval később, a 19. században a prímszámtétel egyszerű következményeként a matematikai analízis eszközeit felhasználó bizonyítás is született. Azonban a számelmélet és a topológia a matematikának egymástól távol eső ágai, így váratlan, meglepő és érdekes tény, hogy egy alapvető számelméleti tényt topológiai eszközökkel is igazolni lehet.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges a, b \in \Bbb Z egész számra jelölje \ N_b(a) az \{a+bj|j\in \Bbb Z\} számtani sorozatot. A Fürstenberg-topológiában nyíltnak nevezünk egy G\subset \Bbb Z halmazt, ha minden a\in G számra létezik olyan b\in \Bbb Z, hogy N_b(a)\subset G. Az üres halmaz és maga \Bbb Z így nyíltak, két nyílt halmaz metszete maga is nyílt és nyíltak uniója szintén nyílt, ezért a nyíltnak definiált halmazok valóban topológiát alkotnak. A Fürstenberg-topológia tehát az egész számokból álló, mindkét irányban végtelen számtani sorozatok által generált topológia \Bbb Z elemein.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Fürstenberg-topológiában minden nemüres nyílt halmaz végtelen. Egy véges halmaz komplementere tehát nem lehet zárt.

N_b(a) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} N_b(a + j),

tehát \ N_b(a) előáll egy nyílt halmaz komplementereként, így egyben zárt is.

A prímszámok végtelensége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje \mathbb P a prímszámok halmazát. Tetszőleges p \in \mathbb P-re \ N_p(0) éppen a p többszöröseiből álló halmaz. Mivel az 1-en és a -1-en kívül minden egész szám előáll egy prím többszöröseként,

\mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} = \bigcup_{p\in \mathbb P} N_p(0).

Ha véges sok prímszám volna, akkor a jobb oldalon zárt halmazok véges uniója állna, amely így maga is zárt volna. De ez nem lehetséges, mert a bal oldalon egy véges halmaz komplementere áll, amely így nem zárt. Tehát végtelen sok prímszám van.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • H. Fürstenberg (1955.). „On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (353).