Függvénysorozatok konvergenciája

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valós analízisben függvénysorozaton olyan sorozatot értünk, melynek minden eleme egy valós függvény. A számsorozatokhoz hasonlóan értelmezhető függvénysorozatok konvergenciája is. Ennek két főbb változatát különböztetjük meg: a pontonkénti, illetve az egyenletes konvergenciát.

Pontonkénti konvergencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen az f_{n} : X \to \mathbb{R} egy X\,\! halmazon értelmezett függvénysorozat. Azt mondjuk, hogy f_{n} \,\! pontonként konvergál az f : X \to \mathbb{R} függvényhez, ha minden rögzített x \in X számra

\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = f(x).

Jelölése: \lim f_{n} = f

Tehát az értelmezési tartomány minden x \,\! pontjához definiálunk egy olyan számsorozatot, melynek n\,\!. eleme éppen az az érték, amit f_{n}\,\! az x\,\!-hez rendel. Ha az összes ilyen sorozat konvergens lesz, akkor ezek határértéke kijelöli f\,\!-nek a különböző x\,\!-ekhez rendelt értékeit. Ekkor azt mondjuk, hogy f_{n}\,\! pontonként konvergens, és limesze az f\,\! függvény.

A pontonkénti konvergencia (az egyenletes konvergenciával ellentétben) kivezet a folytonos függvények köréből, azaz még csupa folytonos függvényből álló f_{n}\,\! függvénysorozat esetén sem biztos, hogy azok limesze is folytonos lesz.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f_{n} : \left [ 0,\, 1 \right ] \to \mathbb{R}, \, f_{n}(x) = x^n\!. Az x^n\,\! függvény folytonos a pozitív egész n\,\!-ekre, ezért f_{n}\,\! elemei is azok. Mivel x^n\,\! a 0-hoz tart 0 \le x < 1 esetén és 1-hez x = 1\,\! esetén, ezért


\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = 
\begin{cases}
0,  & \mbox{ha }0 \le x < 1 \\
1,  & \mbox{ha }x = 1
\end{cases}
.

Ez a függvény nyilván nem folytonos az 1 pontban.

Egyenletes konvergencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy egy f_{n} : X \to \mathbb{R} függvénysorozat egyenletesen konvergál az f : X \to \mathbb{R} függvényhez az X\,\! halmazon, ha minden \varepsilon > 0 számhoz létezik olyan n_{0} \in \mathbb{N} küszöbindex, hogy tetszőleges n \ge n_{0} esetén minden x \in X-re teljesül, hogy

\left | f(x) - f_{n}(x) \right | < \varepsilon.

Jelölése: f_{n}\,\! Egyenlkonv.JPG f\!

Az egyenletes konvergencia már zárt a folytonos függvények halmazára nézve, azaz folytonos függvények limesze is folytonos.

Ha egy egy függvénysorozat egyenletesen tart f\,\!-hez, akkor pontonként is. Ez fordítva nem feltétlenül igaz. A különbség lényege, hogy adott \varepsilon mellett az egyenletes konvergencia esetén minden x\,\!-hez egy közös, míg a pontonkénti konvergencia esetben x\,\!-enként különböző küszöbindex található.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Dancs István: Analízis I.