Extenzionalitási axióma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma[1]) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:

Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.
\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )

Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.[2]

Változatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:
Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \leftrightarrow x = y )
Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.
  • A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
  • Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
\forall x \forall y \, ( ( \mathrm{m}(x) \land \mathrm{m}(y) \land \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) ) \rightarrow x = y )
(\mathrm{m}(x) rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.
  • Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
  • Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )
(Itt \in és \epsilon két különböző tartalmazási reláció.) [3] Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hajnal-Hamburger [1983], 121.o.
  2. Jech [2003], 6.o.
  3. Kisielewicz [1989], 83.o.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
  • Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
  • Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).