Extenzionalitási axióma

Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:

Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.

$\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )$

Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.

Változatok

• Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:

Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.

$\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \leftrightarrow x = y )$

Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.

• A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
• Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:

$\forall x \forall y \, ( ( \mathrm{m}(x) \land \mathrm{m}(y) \land \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) ) \rightarrow x = y )$

($\mathrm{m}(x)$ rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.

• Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
• Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:

$\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )$

(Itt $\in$ és $\epsilon$ két különböző tartalmazási reláció.) Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.

Irodalom

• Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
• Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
• Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).