Euler-szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben az Euler-szorzat a Dirichlet-sor prímszámokkal indexelt kiterjesztése a végtelenbe. Az elnevezés abból ered, hogy a Riemann-féle zéta-függvény esetét Euler tanulmányozta, és ő bizonyította be annak végtelen szorzat reprezentációját.

Definíció[szerkesztés]

Általában, ha az a függvény multiplikatív, akkor a

Dirichlet-sor egyenlő a következővel:

ahol a szorzatot a prímek fölött veszik, és éppen az

összeg.

Hogyha ezeket formális generátorfüggvénynek tekintjük, akkor adódik, hogy egy efféle formális Euler-szorzat kiterjesztése szükséges és elégséges feltétele az a függvény multiplikativitásának. Eszerint azoknak a különböző értékeknek szorzata, ahol p prímosztója n-nek, és n prímtényezős felbontásában p éppen k-szor szerepel.

Speciálisan, ha teljesen multiplikatív, akkor egy mértani sor. Ekkor

mint a Riemann-féle zéta-függvény esete, és általánosabban, a Dirichlet-karakterek esetén.

Konvergencia[szerkesztés]

A gyakorlatban a végtelen soroknak azok a speciális esetei érdekesek, amikor a sor abszolút konvergens. Ezen a tartományon a sor összege nem lehet nulla, így itt a tényezők sem lehetnek nullák.

A moduláris formák tétele szerint tipikus, hogy itt a nevezők másodfokú polinomok. Az általános Langlands-elmélet tartalmaz egy hasonló fejtegetést az m-edfokú polinomokkal kapcsolatban, és a reprezentációelmélet is hasonlót mond GLm-ről.

Példák[szerkesztés]

A Riemann-féle zéta-függvényhez kapcsolódó Euler-szorzat a mértani sor összegének felhasználásával

.

A Liouville-függvényre

Reciprokaikat felhasználva a Möbius-függvény két Euler-szorzata

és

A kettő hányadosa:

Mivel páros számokra a Riemann-féle zéta-függvény értéke és egy racionális szám szorzata, ez a végtelen szorzat racionális számot ad értékül páros hatványokra. Például, mivel , , és ,

és így tovább, ami Ramanudzsan első eredménye. Ez a végtelen szorzat a következővel is ekvivalens:

ahol az n különböző prímosztóinak számát jelöli. és a négyzetmentes osztók száma.

Hogyha az N konduktor Dirichlet-karaktere, akkor teljesen multiplikatív, és csak n maradékosztályától függ modulo N, és akkor és csak akkor, ha n nem relatív prím. Ekkor

.

Itt kényelmesebb elhagyni az N konduktor prímosztóit a szorzatból. Ramanudzsan megpróbálta általánosítani az Euler-szorzatot a zéta-függvényre:

minden -re, ahol a polilogaritmus. -re a fenti szorzat nem más, mint

Ismert konstansok[szerkesztés]

Sok ismert konstansnak van Euler-szorzatos kifejtése:

A Leibniz-formula a π-re:

értelmezhető Dirichlet-sorként az egyetlen modulo 4 Dirichlet-karakter segítségével, és szuperpartikuláris arányok Dirichlet-szorzatává alakítható:

ahol minden számláló prím, és a nevező a legközelebbi néggyel osztható szám.[1]

További Euler-szorzatok:

Ikerprím-konstans:

Landau-Ramanudzsan-konstans:

Murata-konstans (A065485 sorozat az OEIS-ben):

Erősen gondtalan konstans OEISA065472:

Artin-konstans OEISA005596:

Landau-konstans OEISA082695:

Gondtalan konstans OEISA065463:

Reciproka OEISA065489:

Feller-Tornier-konstans OEISA065493:

Kvadratikus osztályszám konstans OEISA065465:

Totient összegzési konstans OEISA065483:

Gondtalan konstans OEISA065464:

Erősen gondtalan konstans OEISA065473:

Stephens-konstans: OEISA065478:

Barban-konstans: OEISA175640:

Heath-Brown–Moroz-konstans OEISA118228:

Jegyzetek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3* G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
  • George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
  • G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"