Elsőderivált-próba

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az f függvény f ' deriváltjának előjelváltása a lokális szélsőértékeket mutatja.

A matematikai analízisben az első deriváltra vonatkozó próba arra fogalmaz meg elégséges kritériumot, hogy egy nyílt intervallumon differenciálható függvénynek a derivált zérushelyén lokális szélsőértéke legyen (lokális maximum vagy minimuma).

A próba a következő. Legyen f differenciálható, u az értelmezési tartományának egy belső pontja és \mbox{ }_{f'(u)=0}\,. Ekkor,

  • ha \mbox{ }_{f'}\, az u bal oldalán is állandó előjelű és a jobb oldalán is állandó előjelű, de u-ban előjelet vált, akkor u-ban f-nek lokális szélsőértéke van
    • ha \mbox{ }_{f'}\, az u-ban negatívból pozitívba vált előjelet, akkor f-nek az u-ban lokális minimuma van;
    • ha \mbox{ }_{f'}\, az u-ban pozitívból negatívba vált előjelet, akkor f-nek az u-ban lokális maximuma van;
  • ha \mbox{ }_{f'}\, u körül előjeltartó, akkor a függvénynek u-ban biztosan nincs semmilyen szélsőértéke;
  • ha \mbox{ }_{f'}\, előjele váltakozik az u bármilyen kis egyoldali környezetében, akkor a próba nem jár sikerrel (további vizsgálatokat igényel annak az eldöntése, hogy u-ban szélsőérték van-e).

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f : I\rightarrowR intervallumon differenciálható függvény, u az I egy belső pontja. Ha létezik olyan (u-r,u+r) intervallum az I-ben, hogy

  1. f'\, az ( u - r , u )-n mindenütt pozitív és f'\, az ( u , u + r )-en mindenütt negatív akkor f-nek u-ban lokális maximuma van és
  2. f'\, az ( u - r , u )-n mindenütt negatív és f'\, az ( u , u + r )-en mindenütt pozitív, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van.

(Ekkor természetesen \mbox{ }_{f'(u)=0}\,.)

Megjegyzés: A pozitív kitétel lecserélhető nemnegatívra, a negatív pedig nempozitívra.

Folytonos függvényre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyezzük, hogy a tételt olyan esetre is meg lehet fogalmazni, amikor f-ről az u-ban csak annyit teszünk fel, hogy folytonos. Legyen f: R\rightarrowR az u pont egy ( u-r , u+r ) \ {u} kipontozott környezetén differenciálható függvény és folytonos u-ban.

  1. Ha f'|_{(u-r,u)}\geq 0\, és f'|_{(u,u+r)}\leq 0\, akkor f-nek u-ban lokális maximuma van és
  2. Ha f'|_{(u-r,u)}\leq 0\, és f'|_{(u,u+r)}\geq 0\, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van.

A negatív állítás esete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

f (x)=x3 és deriváltja. A derivált a 0-tól balra és jobbra is pozitív, így szigorúan monoton növekvő. A függvénynek tehát nem lehet szélsőértéke, holott a 0-beli derivált 0.

Az, hogy a derivált egy belső pontban 0, nem elég ahhoz, hogy a függvénynek ott lokális szélsőértéke legyen. A szélsőértékre vonatkozó Fermat-tétel csak szükséges, de nem elégséges kritériuma a belső pontban differenciálható függvény szélsőértékének. A nem elégségességet igazoló példa a valós számok halmazán értelmezett

x\mapsto x^3

függvény, amelynek a 0-ban 0 meredekségű, úgy nevezett inflexiós érintője van – átmetszi a függvénygörbét –, de nincs szélsőértéke, lévén szigorúan monoton növekvő.

A példa esetét jól leírja az a szituáció, amikor az u előtt és az u után a derivált (természetesen az u-t kivéve) szigorúan előjeltartó. Ezekben az esetekben biztosan nincs a függvénynek u-ban szélsőértéke.

Tehát, ha f'|_{(u-r,u)},\;f'|_{(u,u+r)}> 0\, vagy f'|_{(u-r,u)},\;f'|_{(u,u+r)}< 0\,, akkor ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton, s mivel u-ban folytonos, ezért az egész (u-r,u+r) intervallumon is szigorúan monoton, következésképpen nem lehet u-ban szélsőérték.

Itt a szigorú egyenlőtlenség nem cserélhető le megengedőre.

Az alkalmazhatóság feltételei és korlátai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

f(x)=x2sin(1/x), f(0)=0. A példa mutatja, hogy nem elég, hogy a függvény egy-egy pontban balról és jobbról ellenkező előjelű deriváltakkal rendelkezik. A deriváltnak egy egész bal oldali intervallumban kell ugyanolyannak lennie és különböznie egy egész jobb oldali intervallumbeli előjeltől.

Nem hagyható el az a feltétel sem, hogy legyen az u-tól jobbra olyan intervallum, ahol a függvény deriváltja állandó előjelű és legyen balra is egy olyan intervallum, ahol mindenhol ugyanolyan előjelű, továbbá ebben a két intervallumban a derivált előjele eltér. Világos, ugyanis, hogy nem elég az, hogy akármilyen közel megyünk az u-hoz, balra és jobbra van egy-egy pont, amelyekben ellenkező előjelű a derivált. Például az

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\,\sin\left(\frac{1}{x}\right),&  x\ne 0\\0,& x= 0  \end{matrix}\right.

differenciálható, az előbb mondott tulajdonságú, de 0-ban nincs szélsőértéke (holott 0-ban még a deriváltja is 0).

f(x)=2x2(1+sin(1/x))+x2, f(0)=0. Ebben az esetben a próba nem alkalmazható, bár a függvénynek a 0 pontban minimuma van.

A próba nem is alkalmas minden nyílt intervallumban differenciálható függvény szélsőértékének kimutatására. Bár a következő függvénynek a 0-ban minimuma van, ennek igazolására a próba nem alkalmazható, mert nincs a 0 körül olyan bal és jobb oldali környezet, ahol a függvény deriváltja azonos előjelű lenne (és a 0-ban előjelet váltana): f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2\,(\sin\left(\frac{1}{x}\right)+1)+x^2,  & x\ne 0\\0, & x= 0  \end{matrix}\right. A tétel tulajdonképpen olyan függvényre is megfogalmazható lenne – plusz feltételekkel –, amelyik nem folytonos a vizsgált pontban, de létezik bal és jobb oldali határértéke. Ám, a hozzáadott feltételek gyakorlatilag annak a megismétlését jelentenék, hogy ott a függvénynek lokális szélsőértéke van, így semmit sem nyernénk vele.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csak a folytonos függvény esetére vonatkozó, lokális maximumról beszélő esetet bizonyítjuk (a másik eset ebből a –f függvényre való alkalmazással következik.)

Azt kell belátnunk, hogy ha (a,b) nyílt intervallum,

f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R} folytonos,
u\in (a,b)\,,
f|_{(a,u)}\, és f|_{(u,b)}\, differenciálható és
f'|_{(a,u)}\geq 0\, és f'|_{(u,b)}\leq 0\,

Ekkor u-ban f-nek lokális maximuma van.

Legyen x ∈ ( a , u ). A Lagrange-féle középértéktételt alkalmazhatjuk az f|[x,u] leszűkítésre, hiszen a függvény folytonos és az (x,u) nyílt intervallumon differenciálható. Minden deriváltértékre, így a Lagrange-tétel által biztosított x1 ∈ (x,u) pontbeli deriváltra is teljesül, hogy az nemnegatív:

f'(x_1)=\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\geq 0

innen az xu negatív számmal beszorozva, kapjuk:

f(x)\leq f(u)

vagyis f|(a,u]-nak u lokális maximuma. Hasonlóképpen kapjuk, hogy f|[u,b)-nek u szintén lokális maximuma, így minden x ∈ (a,b)-re f(x) ≤ f(u). QED

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett

f(x)=\frac{(1+x)^2}{1+x^2}

függvényt. f nyílt intervallumon differenciálható, tehát a lokális szélsőértékhelyek a szélsőértékre vonatkozó Fermat-tétel szerint a derivált nullhelyei között keresendők:

f'(x)=\frac{2(1+x)(1+x^2)-(1+x)^22x}{(1+x^2)^2}=\frac{(1+x)(2(1+x^2)-2x(1+x))}{(1+x^2)^2}=
=\frac{ 2(1+x)(1-x) }{(1+x^2)^2}
f(x) = (1+x)2/(1+x2)

így

\frac{ 2(1+x)(1-x) }{(1+x^2)^2}=0

ahonnan x1 = -1 és x2 = +1. f' előjelét kell tehát megállapítani a (-∞,-1), (-1,+1) és (+1,+∞) intervallumokban. A derivált számlálója a 2(1+x)(1-x) felülről nyitott parabola, ami a fenti intervallumokban rendre +, -, + előjelű. A nevező pozitív, így nem változtat ezeken az előjeleken. A függvény tehát először szigorúan monoton nő, aztán szigorúan monoton csökken, végül megint szigorúan monoton módon nő. Ebből azonnal következik, hogy -1-ben valóban lokális szélsőérték van, éspedig lokális maximum, hiszen a derivált +ból –ba vált előjelet, a +1-ben pedig lokális minimum van.

x ]–∞;–1[ –1 ]–1;+1[ 1 ]+1;+∞[
f'(x) + 0 0 +
f(x) max min
f(x) = exabs(x)

2. Vizsgáljuk a valós számok halmazán értelmezett

f(x)=e^x\cdot |x|

függvényt. Világos, hogy f nem differenciálható az x=0 pontban, de ott folytonos, világos, hogy erre a pontra a Fermat-féle szélsőértéktétel nem alkalmazható. A függvény deriváltja (az R \ {0} halmazon):

f'(x)=e^x\cdot |x|+e^x\cdot \mathrm{sgn}(x)
(x\ne 0)\,

ahol sgn(x) a szignum- vagy előjelfüggvény, ami az abszolútérték függvény deriváltja minden nullától különböző helyen. Megjegyezzük, bár nem szükséges a feladat megoldásához, hogy nullában balról és jobbról azonban már léteznek az egyoldali deriváltak f-'(0) = –1 és f+'(0) = +1.

Az

f'(x)=e^x\cdot(|x|+\mathrm{sgn}(x))\quad\quad(x\ne 0)\,

függvény azonos előjelű tartományait kell meghatározni. ex mindig pozitív, |x|+sgn(x) = 0 pedig két esetben lehet: x=–1 vagy x=0 (persze ez utóbbiban f' nem értelmezett). Az előjeleket és a növekedési viszonyokat az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

x ]–∞;–1[ –1 ]–1;0[ 0 ]0;+∞[
f '(x) + 0 nincs +
f(x) max min

Magasabbrendű deriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 2. példából látható, hogy az elsőderivált-próba akkor is használható, ha a függvény nem sima, például nem differenciálható az adott pontban (de folytonos). A próba azonban egy globális feltétel ellenőrzését igényli, azaz, hogy balról és jobbról legyen egy-egy teljes intervallum, ahol a derivált létezik és intervallumonként egyenlő előjelű.

A sima függvényeknél a globális feltételek lokálissá tehetők. Például, ha tudjuk, hogy az intervallumon értelmezett differenciálható függvény folytonosan differenciálható az intervallum u belső pontjában és f deriváltja az u-ban nulla, és a derivált injektív az u egy környezetében, akkor teljesülnek az elsőderivált-próba feltételei.

Ha az intervallumon értelmezett differenciálható függvény kétszer folytonosan differenciálható az u egy környezetén és a második derivált nem nulla u-ban, akkor már az inverzfüggvény-tétel is biztosítja az elsőderivált próba feltételeinek teljesülését.

A másodikderivált-próba már egy tisztán lokális feltételt tartalmaz. Ha az intervallumon differenciálható függvény kétszer differenciálható az intervallum egy u belső pontjában és f második deriváltja nem nulla, akkor a derivált lokálisan monoton. Ez amiatt van, hogy ekkor létezik olyan V nyílt környezete u-nak, hogy

\frac{f'(x)-f'(u)}{x-u}>0 minden xV \ {u}-re vagy \frac{f'(x)-f'(u)}{x-u}<0 minden xV \ {u}-re

azaz f' előjelet vált.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]