Egész számok

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy $\mathbb{Z}$) jelöljük. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

Matematikai definíció

A természetes számok $\mathbb{N}$ halmazát ismertnek feltételezve a következőképpen definiálhatjuk az egész számokat: Tekintsük a $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ Descartes-szorzatot, amely természetes számok rendezett párjaiból áll. Értelmezzük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az $(m,n)\cdot(m'n')=(m \cdot m'+n \cdot n',m \cdot n'+m' \cdot n)$ szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöljük $\mathbb{Z}$-vel. Az így nyert $\mathbb{Z}$ halmazt nevezzük az egész számok halmazának.

Az n természetes számot az (n,0) párnak megfeleltve láthatjuk, hogy a természetes számok beágyazhatók $\mathbb{Z}$-be. (a,b) éppen akkor természetes szám, ha a nem kisebb b-nél. $\mathbb{Z}$ elemei az összeadásra nézve additív csoportot alkotnak. Az (a,b) pár additív inverze a (b,a) pár.

Tulajdonságok

Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással gyűrűt (speciálisan euklideszi gyűrűt) alkot.

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra.

Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett.

Számossága

Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen (szokásos jelöléssel $\aleph_0$), ami megegyezik a természetes számok számosságával. Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció. Ebben az esetben is létezik ilyen függvény, mégpedig pl:

$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$

$f(x) := \begin{cases} 2x & \mbox{ha }x \ge 0 \\ -2x-1 & \mbox{ha }x < 0 \end{cases}$

Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik.