Disztribúció (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények C_0^{\infty}(\Omega) terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van K része \Omega, supp \phi_j, supp \phi része K
  2. Tetszőleges \alpha indexvektor esetén \partial ^{\alpha} \phi_j \rightarrow
\partial^{\alpha} \phi egyenletesen \Omega-n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Legyen az f függvény értelmezve az \Omega halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen T_f az a funkcionál, ami a \phi függvényhez az \int _{\Omega}f d \phi értéket rendeli. Ekkor T_f disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
  2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen a \in \Omega . Rendelje a \delta _a funkcionál a \phi függvényhez a \phi (a) helyettesítési értéket. Ekkor \delta _a nem reguláris disztribúció.
  3. Legyen az f függvény értelmezve az \Omega halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen \beta rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a \phi függvényhez az \int _{\Omega}f \partial^{\beta}\phi értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció T_f majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az f függvényt.

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összeadás: u, v disztribúció \Omega -n; ekkor (u+v)(\phi)=u(\phi)+v(\phi) \phi \in D(\Omega)

Számmal szorzás: (\lambda u)(\phi)=\lambda u(\phi)

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés: D'(\Omega)

Konvergencia: legyenek u_j, u disztribúciók; ekkor u_j\rightarrow u, ha minden rögzített \phi-re u_j(\phi)\rightarrow u(\phi)

Függvénnyel szorzás: legyen \psi \in C^{\infty}(\Omega); ekkor (\psi u)(\phi)=u(\psi \phi)

u=v lokálisan, ha minden x \in (\Omega) elemhez van U(x) nyílt környezete, ahol u=v

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás: u disztribúció; \partial _j u(\phi)=-u(\partial _j \phi)

Direkt szorzat: u, v disztribúciók; (u \times v)(\phi)=u[x\rightarrow v(y\rightarrow \phi(x,y))] tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def.(\phi _k) * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden \alpha esetén \partial^{\alpha} (\phi-1)\rightarrow 0 egyenletesen  \mathbb R^{2n} minden rögzített kompakt részhalmazban

2. minden \alpha indexvektorhoz van c_ {\alpha}  |\partial \phi _k(y,z)| \leqslant c_{\alpha} minden k, minden (y,z)-re. Definíció: (u*v)(\phi)=\lim_{k\rightarrow \infty} (u\times v)[(y,z)\rightarrow \psi _k(y,z)\phi(y+z)]

A konvolúció nem mindig létezik.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek