Disztribúció (matematika)

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények $C_0^{\infty}(\Omega)$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van $K$ része $\Omega$, supp $\phi_j$, supp $\phi$ része $K$
2. Tetszőleges $\alpha$ indexvektor esetén $\partial ^{\alpha} \phi_j -> \partial^{\alpha} \phi$ egyenletesen $\Omega$ -n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák

1. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\Omega$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen $T_f$ az a funkcionál, ami a $\phi$ függvényhez az $\int _{\Omega}f$ $d \phi$ értéket rendeli. Ekkor $T_f$ disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen $a \in \Omega .$ Rendelje a $\delta _a$ funkcionál a $\phi$ függvényhez a $\phi (a)$ helyettesítési értéket. Ekkor $\delta _a$ nem reguláris disztribúció.
3. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\Omega$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen $\beta$ rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a $\phi$ függvényhez az $\int _{\Omega}f \partial^{\beta}\phi$ értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció $T_f$ majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az $f$ függvényt.

Műveletek

Összeadás: $u, v$ disztribúció $\Omega$-n; ekkor $(u+v)(\phi)=u(\phi)+v(\phi) \phi \in D(\Omega)$

Számmal szorzás: $(\lambda u)(\phi)=\lambda u(\phi)$

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés: $D'(\Omega)$

Konvergencia: legyenek $u_j, u$ disztribúciók; ekkor $u_j->u,$ ha minden rögzített $\phi$-re $u_j(\phi)-> u(\phi)$

Függvénnyel szorzás: legyen $\psi \in C^{\infty}(\Omega)$; ekkor $(\psi u)(\phi)=u(\psi \phi)$

$u=v$ lokálisan, ha minden $x \in (\Omega)$ elemhez van $U(x)$ nyílt környezete, ahol $u=v$

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás: $u$ disztribúció; $\partial _j u(\phi)=-u(\partial _j \phi)$

Direkt szorzat: $u, v$ disztribúciók; $(u \times v)(\phi)=u[x->v(y->\phi(x,y))]$ tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tek. a köv. konvergenciát: def$.(\phi _k)$ * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden $\alpha$ esetén $\partial^{\alpha} (\phi-1)->0$ egyenletesen $\mathbb R^{2n}$ minden rögzített kompakt részh.-ban

2. minden $\alpha$ indexvektorhoz van $c_ {\alpha}$ $|\partial \phi _k(y,z)| \leqslant c_{\alpha}$ minden $k,$ minden $(y,z)$-re. Definíció: $(u*v)(\phi)=lim_k-> \infty (u\times v)[(y,z)->\psi _k(y,z)\phi(y+z)]$

A konvolúció nem mindig létezik.

Forrás

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek