Diszkrét topológia

A matematika topológia nevű ágában diszkrét topológiának nevezzük az olyan topológiát, amelyben a tér valamennyi részhalmaza nyílt. A diszkrét topológiával felruházott teret magát diszkrét topologikus térnek nevezzük.

Formális definíció[szerkesztés]

Legyen $(X,\tau )$ egy topologikus tér. Azt mondjuk, hogy $\tau$ az $X$ -en értelmezett diszkrét topológia, ha $\tau$ az $X$ alaphalmaz ${\mathcal {P}}(X)$ hatványhalmaza.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Bármely halmaz topologikus térré tehető a diszkrét topológiával.
Egy adott halmazon értelmezhető topológiák közül a diszkrét topológia a legfinomabb.
Minden halmaz nyílt, és minden halmaz zárt.
A diszkrét topológia csak nulla dimenziós vektortér felett lineáris. Egy topológia lineáris, ha az alaphalmaz vektortér, és a rajta értelmezett műveletek: az összeadás, és a skalárral szorzás folytonosak.
Ha $(X,\tau )$ diszkrét topologikus tér, és $f$ olyan függvény, amely $X$ -et egy másik $(Y,\sigma )$ topologikus térre képezi le, akkor $f$ szükségképpen folytonos, hiszen minden halmaz $f$ -nél vett ősképe nyílt. Megfordítva, egy $g:Y\rightarrow X$ függvény csak akkor lesz folytonos, ha értelmezési tartományának minden részhalmaza nyílt. Emiatt ha $f:X\rightarrow Y$ homeomorfizmus, akkor szükségképpen $(Y,\sigma )$ is diszkrét tér. Ez azt mutatja, hogy diszkrét tér homeomorf képe szintén diszkrét: a diszkrétség topologikus tulajdonság.