Dirichlet-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden

a, a+q, a+2q, a+3q,\dots

számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.[1]

Írásban csak Dirichlet halála (1859) után látott napvilágot a tétel, a szerző Vorlesungen über Zahlentheorie c. posztumusz művében (először kiadva: 1863, későbbi kiadások: 1863-1894); ami kollégája, R. Dedekind kiadásában jelent meg, és Dedekind csatolta (VI. számú függelékként) a könyvhöz. A Dirichlet-tétel volt az első jelentősebb analitikus számelméleti eredmény [2].

Egyszerű esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos speciális esetét könnyű bebizonyítani, az például, hogy végtelen sok 4k-1, alakú prím van, onnan adódik, hogy minden 4A-1 alakú számnak van ilyen prímosztója, ezért, ha csak véges sok ilyen lenne, ezek szorzatát A-ba írva ellentmondást kapunk. Hasonlóan kapjuk a 6k-1 alakú prímek esetét is. De tulajdonképpen a Fermat-számok tulajdonságaiból adódik, hogy végtelen sok 8k+1 (illetve 16k+1, 32k+1,…) alakú prím van, hiszen F2, F3,… prímosztói mind ilyen alakúak és ezek mind relatív prímek.

Ennél általánosabb és még mindig egyszerűen igazolható, hogy bármilyen q>1-re végtelen sok 1+kq alakú prímszám van. Ehhez elég igazolni Bauer Mihály tételét: ha a egész, akkor Φq(a) minden p prímosztója vagy osztja q-t vagy 1+kq alakú (itt Φq(x) a q-adik körosztási polinom). Legyen ugyanis a rendje d modulo q (azaz d a legkisebb, amire q osztója ad-1-nek). Ez létezik, mert p nem oszthatja a-t. Mivel p|\Phi_q(a)|a^q-1, d osztója q-nak. A kis Fermat-tétel miatt d osztja p-1-et is. Ha d=q, készen vagyunk. Ha d<q, akkor a körosztási polinomok tulajdonságai miatt \Phi_q(a), tehát az őt osztó p is osztója a

\frac{a^q-1}{a^d-1}

számnak.

Ez viszont így fejthető ki:

\frac{a^q-1}{a^d-1} = (a^d)^{\frac{q}{d}-1}+\cdots+1

és itt a tagok mind 1 maradékot adnak p-vel osztva, tehát p osztója q/d-nek tehát q-nak.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dirichlet az általa bevezett karakterek és L-sorok segítségével bizonyította. A bizonyítás három lépésből áll: 1. az állítás visszavezetése arra, hogy egyik mod q L-függvénynek sem gyöke az s=1 érték, 2. ennek bizonyítása komplex karakterekre, 3. bizonyítása valós karakterekre. A 3. lépés lényegesen nehezebb, mint a másik kettő.

Kiterjesztések, általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Linnyik tétele: van olyan L konstans, hogy a (fenti feltételt kielégítő) q differenciájú számtani sorozat legkisebb prímszáma legfeljebb qL.

Dircihlet tételének az az esete, hogy végtelen sok 4k+1 alakú prím van, összekombinálva a kétnégyzetszám-tétellel azt adja, hogy végtelen sok x^2+y^2 alakú prímszám van. Friedlander és Iwaniec bebizonyította hogy végtelen sok x^2+y^4 alakú prím is van, míg Roger Heath-Brown azt látta be, hogy végtelen sok x^3+2y^3 alakú prímszám van.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 93. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
  2. Dean, E. T.: Dedekind's treatment of Galois Theory in the Vorlesungen. A Dietrich College of Humanities and Social Sciences Filozófiai Tanszékének közleményei, 109. sz., 2009; 3. oldal. Angol nyelven, pdf. Hozzáférés: 2012-04-27.