Dirichlet-féle magfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Dirichlet-féle magfüggvény a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet által vizsgált függvénysorozatok egyike. Az analízisben, közelebbről a Fourier-sorok elméletében alkalmazzák.[1]

Dirichlet 1829-ben bizonyította egy periodikus, szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton függvény Fourier-sorának konvergenciáját. Ezt a témát még Leonhard Euler vetette fel, és Dirichlet bizonyítása volt az első.

A Dirichlet által talált sorozat fontos szerephez jut ebben a bizonyításban, ahol magfüggvényként szerepel. Ezért nevezik Dirichlet-féle magfüggvénynek.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dirichlet-féle magfüggvénynek nevezik a

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

függvénysorozatot.

Jelentése összefügg a Fourier-sorokkal. A Fourier-sor n-edik közelítő tagja a Dn(x) és az f 2π szerint periodikus függvény konvolúciója.

Példa:

(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},

ahol

\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx

f k-adik Fourier-együtthatója.

Ebből következik, hogy a Fourier-sorok konvergenciájának vizsgálatához elegendő a Dirichlet-féle magfüggvény tulajdonságait tanulmányozni. Dn L1-normája logaritmikusan tart \infty-be, ha n\to\infty, így vannak folytonos függvények, amik nem állíthatók elő Fourier-sorokkal.[2] Ugyanis

\int |D_n(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log n + \mathcal{O}(1)

ahol \mathcal{O} a Landau-féle ordo jelölés.

Kapcsolat a delta-disztribúcióval[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A periodikus delta-disztribúció egységelem a 2π szerint periodikus függvények konvolúciócsoportjában:

f*(2\pi \delta)=f \,

minden 2π szerint periodikus f függvényre.

A Fourier-sort a következő „függvény” reprezentálja:

2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).

A trigonometrikus azonosság bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adott 2\pi szerint periodikus f(x) függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_k \cos kx+b_k \sin kx\right)

részletösszegeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk s_n(x)-et:

s_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\left[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos kt\,dt\cdot \cos kx+\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin kt\,dt\cdot \sin kx\right]=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(\cos kt\cdot \cos kx+\sin kt \cdot \sin kx\right) \right] \,dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos k\left(x-t\right)\right]\,dt=\frac{1}{\pi}\int_{x-\pi}^{x+\pi}f(x-y)D_n(y) \,dy=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt,

ahol

D_n(t)=\frac{1}{2}+\cos\ t+\cos\ 2t+ \cdots +cos\ nt

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

D_n(t)\cdot \sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left\{\sin\frac{t}{2}+\left[\sin\left(1+\frac{1}{2}\right)t-\sin\left(1-\frac{1}{2}\right)t\right]+ \cdots+\left[\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t-\sin\left(n-\frac{1}{2}\right)t\right]\right\}=\frac{1}{2}\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t,

ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

D_n(t)=\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2 \sin\frac{1}{2}\ t}

A D_n(t) függvény nyilván páros, és így

D_n(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)\right]\ D_n(t)\, dt.

A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

\int_{0}^{\pi}D_n(t)\, dt=\frac{\pi}{2}

Az előző 2 egyenlőség alapján:

s_n(x)-c=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)-2c\right]D_n(t)\, dt;

speciálisan:

s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\varphi_x(t)\ D_n(t)\, dt,

ahol

\varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x).

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha \delta \le \pi tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor

\int_{\delta}^{\pi}D_n(t)\, dt \rarr 0, (n \rarr \infty).

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 94. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
  2. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. 5.11 fejezet, 101. oldal
  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. kiadás, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (teljes verzió (Google Books))