Direkt limesz (kategóriaelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a direkt limesz objektumok irányított rendszerének kategóriaelméleti értelemben vett kolimesze. Először adott algebrai struktúrák (pl. csoportok, modulusok) direkt limeszét definiáljuk, majd teljes általánosságban tetszőleges kategóriában is definiáljuk a direkt limesz fogalmát.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai objektumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ebben a fejezetben objektumaink algebrai struktúrával ellátott halmazok mint pl. csoportok, gyűrűk, adott gyűrű fölötti modulusok, adott test fölötti algebrák, stb. Ennek szellemében "homomorfizmus" alatt mindig a megfelelő algebrai struktúrák közti homomorfizmust értjük (pl. csoportok esetében csoporthomomorfizmust). Először objektumok és homomorfizmusok direkt rendszerét definiáljuk. Ehhez tekintsünk egy \langle I,\le\rangle irányított halmazt (\le részbenrendezés I\, -n és I\, bármely két elemének létezik felső korlátja). Legyen \{A_i : i\in I\} algebrai objektumok családja, ahol I\, irányított indexhalmaz és  f_{ij}: A_i \rightarrow A_j homomorfizmusok minden i \le j-re az alábbi tulajdonságokkal:

  1. f_{ii}\, az A_i\, identitása, valamint
  2. f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} fennáll minden i\le j\le k esetén.

Ekkor az \langle A_i,f_{ij}\rangle párt I\, fölötti direkt rendszernek nevezzük.

Az \langle A_i,f_{ij}\rangle direkt rendszer direkt limeszének A\, alaphalmazát az A_i\, halmazok diszjunkt uniójának az alábbi \sim\, ekvivalenciareláció szerinti faktoraként definiáljuk:

A=\varinjlim A_i = \bigsqcup_i A_i\bigg/\sim.

Itt x_i\in A_i és x_j\in A_j ekvivalensek, x_i\sim\, x_j, ha van olyan k\in I, melyre f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,. Heurisztikusan két elem akkor és csak akkor esik egybe a direkt limeszben, ha egy idő után a direkt rendszerben is egybeesnek.

Ebből a definícióból azonnal adódnak a \phi_i: A_i\rightarrow A kanonikus morfizmusok, amelyek minden elemhez az A\,-beli ekvivalenciaosztályát rendelik. Az algebrai műveleteket A\,-n értelemszerűen definiáljuk, pl. [x_i]+[x_j]:=[f_{ik}(x_i)+f_{jk}(x_j)].

Fontos megemlíteni, hogy az R-modulusok R-MOD kategóriájában a direkt limesz egzakt funktor.

Direkt rendszer direkt limesze tetszőleges kategóriában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A direkt limeszt tetszőleges \mathcal{C} kategóriában is definiálhatjuk egy megfelelő univerzális tulajdonság segítségével. \mathcal{C}-beli objektumok és morfizmusok direkt rendszere ugyanúgy definiálható, mint fent. Az \langle X_i, f_{ij}\rangle direkt rendszer direkt limesze az \langle X, \phi_i\rangle pár, ahol X\,\in Ob\,\mathcal{C}, a \phi_i: X_i\rightarrow X kanonikus morfizmusokkal együtt, melyekre \phi_i =\phi_j \circ f_{ij} teljesül minden i,j\in I\, esetén.

Az \langle X, \phi_i\rangle pár univerzális abban az értelemben, hogy minden más ugyanezen feltételeknek eleget tevő \langle Y, \psi_i\rangle párra egyértelműen létezik egy  u:X\rightarrow Y morfizmus, amely az alábbi diagramot minden i,j\in I\,-re kommutatívvá teszi:

DirectLimit-01.png

A direkt limeszt gyakoran az alábbi módon jelölik:

X = \varinjlim X_i

ahol a direkt rendszer továbbra is \langle X_i, f_{ij}\rangle.

Az algebrai objektumok esetével ellentétben nem minden kategóriában létezik direkt limesz. Ha viszont létezik, akkor egyértelmű abban az erős értelemben, hogy ha X és X* is direkt limesze ugyanannak a direkt rendszernek, akkor egyértelműen létezik egy X*\,\to X\, izomorfizmus, ami a kanonikus morfizmusokkal kommutál.

Itt jegyezzük meg, hogy egy \mathcal{C} kategóriabeli direkt rendszer funktorokkal is leírható. Tetszőleges \langle I,\le \rangle irányított halmaz tekinthető \mathcal{I} kis kategóriának, ahol a morfizmusok az i\rightarrow j nyilakból állnak: i\rightarrow j akkor és csak akkor, ha i\le j. A direkt rendszer nem más, mint egy \mathcal{I}\rightarrow \mathcal{C} kovariáns funktor.

Általános definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek  \mathcal I és  \mathcal C kategóriák. Jelölje c_X: \mathcal I\rightarrow \mathcal C az  X\in Ob \mathcal C -be menő konstans funktort. Tetszőleges  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C funktorhoz definiáljuk a

 \lim_{\longrightarrow} F: \mathcal C \rightarrow \mathbf{Set}

funktort, amely minden  X\in Ob \mathcal C objektumhoz a F \to c_X természetes transzformációk \mathrm{Hom}(F,c_X) halmazát rendeli. Ha  \lim_{\longrightarrow} F reprezentálható, akkor a  \mathcal C -beli reprezentáns objektumot F direkt limeszének nevezzük és szintén  \lim_{\longrightarrow }F -fel jelöljük.

Legyen a  \mathcal C kategória Abel, ahol objektumok tetszőleges (akár végtelen) direktösszege létezik (ez az AB3 Grothedieck axióma ). Ekkor a  \lim_{\longrightarrow} F funktor reprezentálható minden  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C funktorra és

 \lim_{\longrightarrow}: \mathrm{Hom}(\mathcal I, \mathcal C)\rightarrow \mathcal C, F\mapsto \lim_{\longrightarrow} F

Abel kategóriák közti jobbegzakt funktor.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egy M halmaz M_i részhalmazainak egy családján a tartalmazás részbenrendezés. Direkt limesze az unió: \bigcup M_i.
  • Let I be tetszőleges irányított halmaz, amelynek van legnagyobb eleme, legyen ez m. Ekkor a megfelelő direkt rendszer direkt limesze izomorf Xm-mel, a φm: XmX kanonikus morfizmus izomorfizmus.
  • Legyen p prímszám. Tekintsük a Z/pnZ csoportok és a p-vel való szorzás által indukált Z/pnZZ/pn+1Z homomorfizmusok direkt rendszerét. Ennek a rendszernek a direkt limesze az összes p-hatvány rendű egységgyök által alkotott Z(p) csoport.
  • A direkt limesz és az inverz limesz kapcsolata:
\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).
  • Tekintsük az {An, φn} sorozatot, ahol An C*-algebra és φn : AnAn + 1 *-homomorfizmus. A direkt limesz konstrukciójának C*-analogonja a fenti univerzális tulajdonságot kielégítő C*-algebra.

Kapcsolódó konstrukciók és általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A direkt limesz kategóriaelméleti értelemben vett duálisa az inverz limesz. Általánosabb kategóriaelméleti fogalmak a limesz és a kolimesz. Az elnevezés megtévesztő lehet: a direkt limesz kolimesz, míg az inverz limesz limesz.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from the French, Paris: Hermann, Sablon:MathSciNet

Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, vol. 5 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag