Dini-féle konvergenciakritérium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Fourier-sorok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő:

DINI-FÉLE KRITÉRIUM. Legyen \varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x). Ha valamely x-re a

\frac{\varphi_x(t)}{t}

függvény a t=0 pont környezetében t-nek integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

s_n(x) \rarr f(x), (n \rarr \infty)

Bizonyítás. A Dirichlet-féle képletekből

s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \varphi_x(t) \frac{sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \, dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\varphi_x(t)}{t} \ \frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \cdot sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t \, dt

A \frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t} függvény a \left[0, \pi\right] zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az \frac{\varphi_x(t)}{t} integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A Riemann–Lebesgue lemma szerint tehát n \rarr \infty esetén, az integrál 0-hoz tart.

A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a Lipschitz-féle konvergenciakritérium.

Ajánlott irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).