Dini-féle konvergenciakritérium

A Fourier-sorok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő:

DINI-FÉLE KRITÉRIUM. Legyen $\varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)$. Ha valamely $x-re$ a

$\frac{\varphi_x(t)}{t}$

függvény a $t=0$ pont környezetében $t-nek$ integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

$s_n(x) \rarr f(x), (n \rarr \infty)$

Bizonyítás. A Dirichlet-féle képletekből

$s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \varphi_x(t) \frac{sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \, dt=$ $=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\varphi_x(t)}{t} \ \frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \cdot sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t \, dt$

A $\frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t}$ függvény a $\left[0, \pi\right]$ zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az $\frac{\varphi_x(t)}{t}$ integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A Riemann–Lebesgue lemma szerint tehát $n \rarr \infty$ esetén, az integrál $0-hoz$ tart.

A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a Lipschitz-féle konvergenciakritérium.

Ajánlott irodalom

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).