Differenciálgép

Charles Babbage differenciálgépének részlete, amit halála után a fia állított össze a Babbage laboratóriumában talált részekből

A differenciálgép (difference engine) olyan mechanikus számológép, amely képes polinomfüggvények táblázatait kiszámolni. Mivel számos bonyolultabb függvény, többek között a logaritmus és a trigonometrikus függvények is közelíthetőek hatványsorral, egy ilyen gép sokoldalú számításokra képes.

Története [szerkesztés]

Babbage gépének a Science Museum által készített másolata.

Az első ilyen tervet Johann Müller készítette 1786-ban, de nem építette meg a gépet. Az ötlet feledésbe merült, és Charles Babbage fedezte fel újra 1822-ben, a Royal Astronomical Society-hez írt "Note on the application of machinery to the computation of very big mathematical tables." („a nagyon nagy matematikai táblázatok gép általi kiszámításáról”) című cikkében. A gép tízes számrendszert használt, és egy kar tekerésével lehetett működtetni. Babbage az angol kormány anyagi támogatásával elkezdte építeni a gépet, de hamarosan áttért egy sokkal általánosabb analitikus gép terevezésére. Később, 1847–49 között elkészítette egy fejlettebbb differenciálgép, a "Difference Engine No. 2" terveit. Ezekre alapozva 1855 után Per Georg Scheutz, majd Martin Wiberg épített differenciálgépet.

1991-re, Babbage születésének kétszázadik évfordulójára a londoni Science Museum Babbage tervei alapján elkészítette a Difference Engine No. 2 korhű mását, korabeli gyártási technológia felhasználásával. 2000-ben rekonstruálták a Babbage által a géphez tervezett nyomtatót is. Néhány appróbb hibát ki kellett javítaniuk Babbage terveiben, de ezután a gépek tökéletesen működtek, és működnek ma is. Ezzel eldőlt a hosszú ideje tartó vita, hogy lehetséges lett volna-e Babbage tervei alapján működőképes gépet készíteni a korabeli technológiával elérhető pontosság mellett.

Működése [szerkesztés]

Közelkép a Science Museum-beli gép oszlopairól

A differenciálgép egy sor oszlopból áll, minden oszlop egy tízes számrendszerbeli számot tud tárolni. A gép egyetlen műveletre képes, egy oszlop értékének az előző oszlopéhoz való hozzáadására. Az utolsó oszlop csak egy konstanst tud tárolni, az első oszlop jelzi (vagy nyomtatja) ki az eredményt.

A gép programozása az egyes oszlopok kezdeti értékeinek beállításából áll. Az első oszlopba a polinom egy adott helyen felvett értéket kellett állítani, a továbbiakban a deriváltak értékeit. Ezután a gépet meghajtva az oszlopok forogni kezdenek, és az oszlopok értéke négy fázisban (egy a páratlan, egy a páros oszlopoknak, azon belül pedig egy az összeadásnak, egy az átvitelnek) hozzáadódnak az előttük lévőhöz.

Matematikai háttér [szerkesztés]

Mivel a gép nem tud szorozni, nem képes kiszámolni egy polinom értékét. Ha azonban egy adott érték (a deriváltakkal együtt) már rendelkezésre áll, a Newton-módszer alkalmazásával közelítően ki tudja számolni a függvény értékét más helyeken: ha a táblázatot $h$ beosztással kell elkészíteni, legyen

$\Delta_h f(a) = f(a+h)-f(a) \,$ ,

ekkor

$f(a+h) = f(a) + \Delta_h f(a) \,$ .

$\Delta_h f \,$ -re is alkalmazhatjuk ugyanezt az eljárást:

$\Delta_h^2 f(a) = \Delta_h f(a+h) - \Delta_h f(a) = [f(a+2h)-f(a+h)] - [f(a+h)-f(a)]$ ,

és

$\Delta_h f(a+h) = \Delta_h f(a) + \Delta_h^2 f(a)$ ,

amiből

$f(a+2h) = f(a) + \Delta_h f(a) + \Delta_h f(a+h) = f(a) + \Delta_h f(a) + (\Delta_h f(a) + \Delta_h^2 f(a))$ .

A különbségeket $f$ -nek $n$ különböző értéke alapján $n$ szintig kiszámolva $\Delta_h^n$ -t vehetjük a-tól független konstansnak, és így közelíthetjük $f(a+kh)$ értékét tetszőleges $k$ -ra; a differenciálgép éppen ezt teszi, az $i$ -edik tengelyt $\Delta_h^i$ -nek megfeleltetve. (Mai fogalmakkal azt mondhatjuk, hogy a gép Taylor-sorának első $n$ tagjával közelíti a függvényt.)

Példa [szerkesztés]

Vegyük a $p(x) = 2x^2-3x+2$ másodfokú polinomot. A $p(0)$ , $p(1)$ , $p(2)$ értékeket kézzel kiszámítva, majd ezekből a differenciákat és azokból a további függvényértékeket kifejezve az alábbi eredményt kapjuk:

$p(0)=2.0$ *
	$\Delta p(0) = 1.72-2.0 = -0.28$ **
$p(0.1)=1.72$ *		$\Delta^2 p(0) = 0.24-0.28 = 0.04$ **
	$\Delta p(0.1) = 1.48-1.72 = -0.24$ **
$p(0.2)=1.48$ *		$0.04$ *******
	$-0.24+0.04 = -0.20$ ********
$p(0.3) = 1.48-0.20 = 1.28$ ********		$0.04$ *******
	$-0.20+0.04 = -0.16$ ********
$p(0.4) = 1.28 - 0.16 = 1.12$ ********